2017-09

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≪ ブロッホの定理 (1) ALL うなり ≫

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Q001 滑車問題

「物理って何が面白いの?」昔から良くそう訊かれます。
答えは人それぞれでなんでしょうが、大抵の人に共通するのは一寸した驚きに出会えたとき物理が楽しいと感じるのではないでしょうか。簡単そうに見えるが答えは予想とまったく逆、つまり「やられた!」という問題に出会うとうれしいものです。

高校生でよくやる滑車を使った問題をやってみましょう。糸と滑車の重さは無視できるほど小さいとします。下の図において、天井に固定された滑車Aに二つの球がついています。右の球は質量が2[kg]、左は1[kg]です。 さてこの状況からどちらの球が下がって行くでしょうか?

[A] 実は釣り合ってどちらの球も動かない。
[B] 2[kg]の右の球が下がる。
[C] 1[kg]の左の球が下がる。

馬鹿らしいですか? 正解は・・・・
pulley01.gif

重いほうが下がる、答えは[B]でしょう、まあ当然ですね。それでは次の問題をやってください。

今度は二つの滑車を使います。滑車Bをとおして質量3[kg]の球と滑車Aが連結されています。滑車Aは上と同じ状況です。つまり質量1[kg]、2[kg]の球が連結されています。図を参考にしてください。この状況から、3つの球はどのように動くでしょうか?
pulley02.gif

滑車Aを通して連結された2[kg]と1[kg]は先と同じように2[kg]の球が下がるでしょう。問題は滑車Bを通して連結された3[kg]の球と滑車Aがどうなるかということです。さて考えてみてください。


[A] 3[kg]の球と滑車Aは釣り合いの状態で動かない。
[B] 3[kg]の球が下がり、滑車Aは全体として上に持ち上がる。
[B] 3[kg]の球が持ち上がり、滑車Aは全体として下に下がる。


さあ貴方はどっち? 答えを知りたい人はメイルでお願いします。

コメント

分かってきた気がします。

丁寧に解説くださって有難うございます。分かってきました。
問題をだしておきながら、申し訳ないんですが、こういったことはすっかり忘れていました。
----------------------------------------------
Mβ=Mg-T ・・・①
mα=T'-mg-mβ ・・・②
m'α=m'g+m'β-T' ・・・③
T=2T' ・・・④
------------------------------------------
②と③の式それぞれ
m(α+β) =T'-mg
m'(-α+β)=T'-m'g
と読めば良いわけですね。そうか、そうか思い出してきた。 
昔やった気がしますが、忘れていました。この式を張力2T'にまとめると

T' = (m+m')(g +β) + (m-m')α

となるので、mとm'の相対運動が滑車Aと滑車Bの運動を引き起こす原因になっていることがわかるわけですね。そこで(m-m')αの符号が問題になるわけですが、解けば当然分かるわけですが、直感からも分かるはずで

m>m'ならmが下がる(または相対的に止まっている)に決まっているわけで、ほしクズさんの方向の定義からmが下がる方向(つまり重力の方向)はα<0ですね。よって

(m-m')α< 0

となります。これで貨車が動き出す原因がわかったような気がします。この項をδF(α)=(m-m')αと書くことにすると、Bの貨車の運動方程式はmβ=Mg-Tですが、この張力は

T=2T'=(m+m')(g+β)+δF(α) =M(g+β)+δF(α)

とも書け、最初t=0ではα=0、β=0ですが、 時刻が経ち、Aの貨車の2Kgが下がり始めるとδF(α)という負の項が表れて張力が少し弱くなりBの貨車を支えていた力が重力にまけて下がるというわけですね。細かい計算は恐らく間違いないでしょうから確認はしませんが、ほしクズさんの立てた運動方程式で良いと思います。

丁寧に付き合ってくださり有難うございました。

訂正

すみません。あとで気付いたんですが、⑦のβの式で、gを掛け忘れてます。あと、そのあとのαもgを掛け忘れてます。このままじゃ、加速度の単位が無次元になってします汗。実際の値を求めるときは、ちゃんとgを掛けてあるのですけど

①は、Mと繋がれてる糸との関係との式です。
②と③は、貨車Aに乗った系とmとm'との関係の式です。
④は、Mの張力とm,m'の張力との関係を示してます。

なので、m'=mのときはα=0です。m'>mだったら、当然、m'は下がって、mは上がります。そのときのaは解答で導いてるような加速度になります。

ポイントは、②と③の式に加速度βによる慣性力の項が加えられてることでしょうか。

あと、さらに加えておくと仮定で“滑車は、質量がなくて、滑らかに動くとします。”と書いたのは、滑車に質量があるとまた式が変わってしまうからです(当然かもしれないけど)。

完全に僕の式に対する説明不足のようです。
いつも僕が式に見慣れてるせいか、これくらいの説明で、大体なにを指してるのか分かるのではないかと思い込んでました。

質問

こういったことはしばらくやっていないのでなかなか理解がすすみません。
ほしくずさんに質問ですが

Mβ=Mg-T ・・・①
mα=T'-mg-mβ ・・・②
m'α=m'g+m'β-T' ・・・③
T=2T' ・・・④

とありますが、②と③だけに着目するとm=m'の場合は加速度α=0が導かれるように思えます。
つまりこの運動方程式は貨車Aに乗った系でのものでしょうか?

すみません、書き方がまずかったですね。
下向きを正として、Mの加速度をβ、滑車Aの加速度を-β
           m'の加速度をα、mの加速度を-α
です。二つがセットになってるので、まとめて書いてしまって誤解を生んでしまったのかもしれません。訂正します。

釣り合うなら、β=0
3kgが下がって滑車Aが上がるなら、β>0
3kgが上がって滑車Aが下がるなら、β<0

Bと仮定して議論してません。議論の結果がBなのです。

ちょっと分からないところが

---------------------------抜粋-------------------------------
[B]だと思います。
3kg,1kg,2kgの錘をM,m,m'とします。滑車は、質量がなくて、滑らかに動くとします。
Mと滑車Aの加速度をβ、張力をT, mとm'の加速度をα、張力をT'とします。
--------------------------------------------------------------

ほしくずさんの解答を抜粋しました。
答えがBだと「思われる」そうですが、その仮定に基づいてmとm'の加速度をaだと決めつけるのは、「間違った仮定の下に解答を導こうとしている」可能性があると思います。如何でしょう。

[B]だと思います。
3kg,1kg,2kgの錘をM,m,m'とします。滑車は、質量がなくて、滑らかに動くとします。
Mと滑車Aの加速度をβ、張力をT, mとm'の加速度をα、張力をT'とします。

方程式を作ると
Mβ=Mg-T ・・・①
mα=T'-mg-mβ ・・・②
m'α=m'g+m'β-T' ・・・③
T=2T' ・・・④

②、③から、α=(m'-m)(g+β)/(m+m') ・・・⑤
T'=2mm'(g+β)/(m+m') ・・・⑥
④と⑥を①に代入すれば、
β=[M(m+m')-4mm']/[M(m+m')+4mm'] ・・・⑦
⑦を⑤に代入すれば、
α=[2M(m’-m)]/[M(m+m')+4mm']
となります。
実際に値を計算すれば、β=(1/17)g、α=(6/17)gです。
よって、3kgの錘は割とゆっくり下がります。

問題のレベル的には、高3~大学1年くらいでしょうか。直感的には、3[kg]が下がることはすぐ分かるんですけどね(^ ^;)

何か、変な気がしますが

大分前に書いた記事なので私自身答えを忘れてしまって今では正解が何だったかさえ直ぐにはわかりません。以前解答された方への返事を見ると「Bの貨車が下がる」というのが私が考えていた正解であるようです。

すると、Aの貨車に下げられた2つのおもりは相対的に運動するように思えます。
Aの貨車に下げられた二つの重りが動かないのであれば、Aの重りがトータルで
3KgでBの重りと釣り合うはずではないでしょうか?


考えた考えたっ!

類題を教えなければならないのですが、勘が戻らないので練習に、もっと詳細に解いて見ました。
受験物理に慣れてる(大学4回生です)ので、左から順におもり1番、2番、3番とし、それぞれの質量を3M、M、2M とさせてください。
 運動方程式を立てます。
 このとき、1番のおもりについて、Aの影響で下向きを正として加速度αがg以外に発生するとし、また、1番につながる糸の張力をTとすると
式1:3Mg-T=3Mα です。
 2番、3番のおもりにつながる糸の張力をtとします。
 B全体は上記のαの設定により、上方へ加速度αを生じると考えます。
 2番が上へ動き、3番が下へ動くと考えて、2番のおもりの上方への加速度をβ、3番のおもりの下方への加速度をβとします。 
 2番のおもりについて運動方程式は
式2:t-M(g-α)=Mβ もしくは t+Mα-Mg=Mβ
 3番のおもりについて運動方程式は
式3:2M(g-α)-t=2Mβ もしくは t+2Mg-2Mα=2Mβ です。
 張力について式4:T=2tなので

式2と式3からtを消去し、βについて解くと、β=1/3(g-α)であり、これを式2、または式3へ代入し直して、t=4/3M(g-α)を得、T=2t=8/3M(g-α)となります。このTの値を式1へ代入して、α=gを得ます。
 よって、β=0であることが分かり、また、最初にαの正の方向として方向に加速度gで加速するので、1番のおもりはgで落下し、Aにある2番、3番のおもりは個々には運動せず、滑車との相対位置を保ったまま、A全体が上方へ加速度gで運動することが分かります。 

 どうでしょうか?

ん~~~、よーくかんがえたじょっ

類題を教えなければならないのですが、勘が戻らないので練習に、もっと詳細に解いて見ました。
受験物理に慣れてる(大学4回生です)ので、左から順におもり1番、2番、3番とし、それぞれの質量を3M、M、2M とさせてください。
 運動方程式を立てます。
 このとき、1番のおもりについて、Aの影響で下向きを正として加速度αがg以外に発生するとし、また、1番につながる糸の張力をTとすると
式1:3Mg-T=3Mα です。
 2番、3番のおもりにつながる糸の張力をtとします。
 B全体は上記のαの設定により、上方へ加速度αを生じると考えます。
 2番が上へ動き、3番が下へ動くと考えて、2番のおもりの上方への加速度をβ、3番のおもりの下方への加速度をβとします。 
 2番のおもりについて運動方程式は
式2:t-M(g-α)=Mβ もしくは t+Mα-Mg=Mβ
 3番のおもりについて運動方程式は
式3:2M(g-α)-t=2Mβ もしくは t+2Mg-2Mα=2Mβ です。
 張力について式4:T=2tなので

式2と式3からtを消去し、βについて解くと、β=1/3(g-α)であり、これを式2、または式3へ代入し直して、t=4/3M(g-α)を得、T=2t=8/3M(g-α)となります。このTの値を式1へ代入して、α=gを得ます。
 よって、β=0であることが分かり、また、最初にαの正の方向として方向に加速度gで加速するので、1番のおもりはgで落下し、Aにある2番、3番のおもりは個々には運動せず、滑車との相対位置を保ったまま、A全体が上方へ加速度gで運動することが分かります。 

 どうでしょうか?

なんと、こんな過去の記事にコメントがつくとは。
解答する人は現われないだろうと思っていたので、解答は準備してませんでした(笑)。

図に力を書き込んだりして問題といたのはかれこれ10年ぶりだったかもしれません。最初力の向きと方程式の符号などがおかしくて混乱しました。 自分で出題したもんだいですが、新鮮で楽しかったです。結果、中3さんの計算は正しいようです。正解とします。

中3さん、受験ありますよね? 頑張ってください。

つづきは解答をカンニングしたい中3…

[B]3Kgが下がりAがあがる。

先ずAの滑車についてのみ考察すると、
加速度a=g((2-1)/(2+1))=(1/3)g
この分が軽くなりで、3kgの錘が付いた方が
下がるのではないでしょうか。

from つづきは解答をカンニングしたい中3・・・

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