振り子入門 その２
前回振り子は触れ角θが小さいときには単振動の問題に帰着することを示した。単振動の運動方程式は
θ''(t) + (g/l) θ(t) = 0
で与えられ、その一般解は角速度 w=√g/lを使ったsin(wt), cos(wt) の重ね合わせで書ける， θ(t)=A cos(w t)+B sin(w t)。 今回は加速上昇中の振り子の運動がどうなるのか調べてみよう。簡単のために振り子をつるした天井が一定の加速度aで上昇しており(図参考）、時刻Tに突然加速が止まったという場合を考えよう。
振り子と一緒に運動する人の視点で考えると、上昇中の振り子には加速度と逆向きな慣性力が加わることに気がつく。振り子に働く力は時刻Tを境にして変わる。
F(t< T) = m(g+a) ，
F(t≧T) = mg
そこで運動方程式も時刻Tを境にして
θ''(t) + (g+a)/l θ(t) = 0 ； (t＜T)，
θ''(t) + g/l θ(t) = 0 ； (t≧T)
となる。どちらも単振動の運動方程式であるので一般解は
θ(t)=A1 cos(w1t)+B1 sin(w1t) ; ( t < T )
θ(t)=A2 cos(w2t)+B2 sin(w2t) ; ( t ≧ T )
となる。ただし加速上昇中の解は角速度が w1=√[(g+a)/l] で， 止まった後は w2=√(g/l) で与えられることに注意せよ。これで「答えはでたー」と叫んで、この一般解でAやB を適当に選んで図を作ると悲惨である。
時刻を横軸にとり縦軸はθの値をとる、適当に初期条件を選び描いたものが上の図。黒い線は加速上昇中の答えを時刻 0< t < T で描いたもの、時刻がt≧Tでは角速度が異なるので二番目の解を使った。当然ながら時刻Tで突然θ が不連続になる（左の図）。そこで時刻Tで二つの線がつながるようにA, Bを選んだのが右の図だが....これも少し変だ。良くみると連続ではあるが線が折れていて滑らかではない。
物理的な答えはθが連続で滑らかなものだろう。そこで二つの解を滑らかにつないだ解を作ってみたい。先ず時刻 t=0 での初期条件を θ(0) = α ， θ'(0) = 0 と簡単なものにしよう。振り子を角度αの地点でゆっくり手からはなすという条件だ。この条件から一般解の係数が A1 = α, B1 = 0 と決まる：
θ(t< T)= α cos(w1t)
二つ目の解が時刻ｔ=Tで滑らかにつながるという条件
Limt→T θ(t< T) = Limt→T θ(t≧T)
Limt→T θ'(t< T) = Limt→T θ'(t≧T)
を課そう。時刻Tでのθの値とその微分θ’で二つの条件式がでる、二つの条件があれば二つの定数A2，B2が決まるだろう。一般解を代入して計算すると
α cos(w1T) = A2 cos(w2T)+B2 sin(w2T)
-α w1 sin(w1T) = w2[ -A2 sin(w2T)+B2 cos(w2T)
この方程式をA2，B2に関して解くのは単純な作業である。三角関数の変形など多少面倒なことをすると、二つの解は
θ(t< T)= α cos(w1t)
θ(t≧T) = α cos(w1T) cos[w2(t-T)] - α (w1/ w2)sin(w1T)sin[w2(t-T)]
と結構短くまとまる。これが物理的な解である。角速度の異なる二つの解は時刻 t=T で滑らかにつながっている（下の図）。加速度運動を止める時刻とその後の振り子の振幅の関係を見るために二つの図を描いた。振り子が最下点（振幅がゼロの点）に来た時に加速度運動を止めるとその後の振幅は最大になるようだ。これはどうしてだろう？ よくよく考えると当然の結果なのだが、様々な角度から考え直してみるのは面白いことだ。
今回は計算がいろいろと面倒な箇所があるが、何をやっているかを理解して欲しい。こんな風に高校の物理に少し手を加えるだけで面白い問題がたくさん作れそうだ。予想もつかないほど面白い現象が見つかったわけではないが、それでも少しずつ面白くなってきた、少なくとも本人はそう感じている。次回振り子の共鳴問題に取り組みたい。
θ''(t) + (g/l) θ(t) = 0
で与えられ、その一般解は角速度 w=√g/lを使ったsin(wt), cos(wt) の重ね合わせで書ける， θ(t)=A cos(w t)+B sin(w t)。 今回は加速上昇中の振り子の運動がどうなるのか調べてみよう。簡単のために振り子をつるした天井が一定の加速度aで上昇しており(図参考）、時刻Tに突然加速が止まったという場合を考えよう。
振り子と一緒に運動する人の視点で考えると、上昇中の振り子には加速度と逆向きな慣性力が加わることに気がつく。振り子に働く力は時刻Tを境にして変わる。
F(t< T) = m(g+a) ，
F(t≧T) = mg
そこで運動方程式も時刻Tを境にして
θ''(t) + (g+a)/l θ(t) = 0 ； (t＜T)，
θ''(t) + g/l θ(t) = 0 ； (t≧T)
となる。どちらも単振動の運動方程式であるので一般解は
θ(t)=A1 cos(w1t)+B1 sin(w1t) ; ( t < T )
θ(t)=A2 cos(w2t)+B2 sin(w2t) ; ( t ≧ T )
となる。ただし加速上昇中の解は角速度が w1=√[(g+a)/l] で， 止まった後は w2=√(g/l) で与えられることに注意せよ。これで「答えはでたー」と叫んで、この一般解でAやB を適当に選んで図を作ると悲惨である。
時刻を横軸にとり縦軸はθの値をとる、適当に初期条件を選び描いたものが上の図。黒い線は加速上昇中の答えを時刻 0< t < T で描いたもの、時刻がt≧Tでは角速度が異なるので二番目の解を使った。当然ながら時刻Tで突然θ が不連続になる（左の図）。そこで時刻Tで二つの線がつながるようにA, Bを選んだのが右の図だが....これも少し変だ。良くみると連続ではあるが線が折れていて滑らかではない。
物理的な答えはθが連続で滑らかなものだろう。そこで二つの解を滑らかにつないだ解を作ってみたい。先ず時刻 t=0 での初期条件を θ(0) = α ， θ'(0) = 0 と簡単なものにしよう。振り子を角度αの地点でゆっくり手からはなすという条件だ。この条件から一般解の係数が A1 = α, B1 = 0 と決まる：
θ(t< T)= α cos(w1t)
二つ目の解が時刻ｔ=Tで滑らかにつながるという条件
Limt→T θ(t< T) = Limt→T θ(t≧T)
Limt→T θ'(t< T) = Limt→T θ'(t≧T)
を課そう。時刻Tでのθの値とその微分θ’で二つの条件式がでる、二つの条件があれば二つの定数A2，B2が決まるだろう。一般解を代入して計算すると
α cos(w1T) = A2 cos(w2T)+B2 sin(w2T)
-α w1 sin(w1T) = w2[ -A2 sin(w2T)+B2 cos(w2T)
この方程式をA2，B2に関して解くのは単純な作業である。三角関数の変形など多少面倒なことをすると、二つの解は
θ(t< T)= α cos(w1t)
θ(t≧T) = α cos(w1T) cos[w2(t-T)] - α (w1/ w2)sin(w1T)sin[w2(t-T)]
と結構短くまとまる。これが物理的な解である。角速度の異なる二つの解は時刻 t=T で滑らかにつながっている（下の図）。加速度運動を止める時刻とその後の振り子の振幅の関係を見るために二つの図を描いた。振り子が最下点（振幅がゼロの点）に来た時に加速度運動を止めるとその後の振幅は最大になるようだ。これはどうしてだろう？ よくよく考えると当然の結果なのだが、様々な角度から考え直してみるのは面白いことだ。
今回は計算がいろいろと面倒な箇所があるが、何をやっているかを理解して欲しい。こんな風に高校の物理に少し手を加えるだけで面白い問題がたくさん作れそうだ。予想もつかないほど面白い現象が見つかったわけではないが、それでも少しずつ面白くなってきた、少なくとも本人はそう感じている。次回振り子の共鳴問題に取り組みたい。
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