2017-05

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≪ 振り子入門 その3(前編) ALL 高校生でもできるテイラー展開 その2 ≫

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高校生でもできるテイラー展開 その1

テイラー展開の需要が高いようなので「高校生でもできるテイラー展開入門」なんて企画もいいのかもしれないなあと漠然と書き出した。

テイラー展開とはあらゆる関数をn次関数xnの和で表してしまおう ということだ。

難しい話はするつもりは無い、とにかく高校生でもテイラー展開ができるように入門を書くことが目的である。この記事を読み終えた高校生はどんな関数でもxnの冪関数の和で表す方法をマスターしているはずだ。そんな事なら高校でならう難しい関数達、sin(x)もcos(x)もlog(x)も全て習う必要もなかったの? 授業でxnしか出てこなかったら数学はどんなに簡単だっただろうかと思うかもしれない。色々と疑問があるだろうがとりあえずそのテイラー展開とやらを見てみよう。話はそれからだ。 次のような複雑な関数を考えよう

f(x)=-1/5+(1+x2)log[5-x]Tan[x]/(5-x2)

taylernyumon00.gif

こんな複雑な関数をグラフに描けといわれると困ってしまうだろう。私はコンピューターを使って描いた。式は複雑だがグラフはこれといって面白い曲線でもないようだ。さてテイラー展開ではこの関数をxの冪関数の和で書こうというわけである。この関数のテイラー展開は次のようになる

f5(x) = -0.2 + 0.33 x - 0.04 x2 + 0.49 x3 - 0.062 x4 + 0.24 x5

ここで左辺のf5(x)の下についた数字の意味はx5までしか計算していないという意味だ。本当は x6,x7,…なども現れるのだが面倒なので無視した。このようにn次関数まで考慮して残りを無視することを「n次の近似」をするという。「そんな適当なことをしていいのか!」と怒られそうだがとりあえず先に進もう。下にf(x)f5(x)を重ねたグラフを描いたので見て欲しい。赤い曲線がf5(x)である。 f(x)f5(x)が殆んどぴったり重なっているといえる。グラフの端のほうで少しずつずれているようだが、タンジェントやログを使った複雑な関数がxの5次関数と殆んど一致するとは驚きだ。
taylernyumon06.gif


先に進む前にfn(x)、つまりn次関数までしか考えなかった場合のテイラー展開とf(x)はどのくらい一致するのだろうか? n次近似のテイラー展開の式を書いておくと、

f0(x) = -0.2
f1(x) = -0.2 + 0.33 x
f2(x) = -0.2 + 0.33 x - 0.04 x2
f3(x) = -0.2 + 0.33 x - 0.04 x2 + 0.49 x3
f4(x) = -0.2 + 0.33 x - 0.04 x2 + 0.49 x3 - 0.062 x4
f5(x) = -0.2 + 0.33 x - 0.04 x2 + 0.49 x3 - 0.062 x4 + 0.24 x5

と次々xの冪が大きい項が加わってゆく。下にグラフを描いてみた。f0(x)からf5(x)まで近似の次数を上げていった場合のグラフを次々と並べてある、だんだん黒の曲線f(x)に近づいてゆくのが分るだろう。
taylernyumon07.gif


これがテイラー展開の例である。複雑な関数をn次の冪関数で表すということだ。そのときにテイラー展開のグラフを元の関数と一致させるためには近似の次数を上げてゆけばよいことが分る。 今回はテイラー展開ってこんなものという紹介だった、次回から計算できるようになるための説明をする。

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