高校生でもできるテイラー展開 その２
それではテイラー展開のやり方についてボチボチ説明をして行こうと思う。以下では微分積分の基礎的な事は知っているものと仮定する。難しい一般論をやる前にちょっと練習をしておこう。
問題：以下の恒等式で？になっている所に入る数字を求めよ。
(1+x)3 = 
+ 3 x+ 3 x2 + x3
(1+x)4 = 1+ x+ 6 x2 + 4 x3+x4
(1+x)6 = 1+ 6 x+ 15 x2 + x3+15 x4 + 6 x5 + x6
これは簡単すぎだろうか、公式を覚えてない人も(1+x)を何回か丁寧にかけてやれば答えが分るはずだ。 単純な計算だがこれは結構面倒な操作なのだ。特に掛ける回数が多くなれば厄介だ。何か巧い方法はないのだろうか？実はわざわざ左辺を展開して計算する必要はない。これらの式はｘに何を入れても成立する関数等式なのだから適当な値をｘに入れても成立する。この事に気がつけばうまいｘを選んで？の係数の情報を引き出してやる事ができるのだ。簡単にやるには両辺の式にx=0を代入してみると良い。
(1+x)3 = + 3 x+ 3 x2 + x3
両辺に x = 0 を代入
(1+0)3 = + 3*0 + 3*02 + 03
左辺は１3で、右辺は？以外の項はすべてゼロである。何故ならゼロを何乗してもゼロだからだ。よって？に入る数は1と答えが出る。
それでは次の２問目も同じようにやってみると
(1+x)4 = 1 + x + 6 x2 + 4x3 + x4
両辺に x = 0 を代入
(1+0)4 = 1 +*0 + 6*02 + 4*03 + 04
となり間違いではないが、？の項にもゼロがかかっているのでこれでは14 = 1という当然の結果がわかるだけで収穫がない。普通のひとならここであきらめ、素直に左辺をコツコツと展開して答えを得る。しかし偉い人がいた、３００年昔テイラーさん（Brook Tayler）は両辺を微分したら良いと言い出した。取り合えずテイラーさんの言うとおりにｘで微分してみよう。
の微分： 4*(1+x)3 = 0 + + 6*2*x + 4*3*x2 + 4*x3
なんと右辺の第一項にあった１が微分で消えて？の項が最初の項になったではないか。この式も依然関数等式なのでｘに何をいれても成立する。ここでｘ＝０を代入してみよう。
の微分にｘ＝０代入： 4*(1+0)3 = 0 + + 6*2*0 + 4*3*02 + 4*03
？の項以外は全てゼロがかかる。つまり左辺：4*13で右辺は？の項のみであるから答えは = 4である。
同じ要領で三番目の問題も解くのだが、今度はx3の係数が知りたいのだ。テイラー先生の教えてくれたｘで微分する方法をやってみるが巧くいかない。色々考えた挙句に微分する回数を増やすとどうだろうかと気づく。そこで３回微分してからｘ＝０を代入してみよう。
の３回微分： 6*5*4*(1+x)3 = *3*2*1 + 15*4*3*2*x + 6*5*4*3*x2 + 6*5*4*x3
３回微分したことによって?より前にあった項は全て消えた、なぜなら３回微分して残るのxの冪が３以上必要なのだ。ここでｘ＝０とおくと?より後ろにある項は全てゼロがかかり消える？。つまり
6*5*4*13 =*3*2*1
答えは = 6*5*4/(3*2*1)
かなりのんびりとのろのろペースでやっているが、焦ってはいけない。
何事も基本が大事だ、基礎を固めておけば後で無駄な苦労をしなくてすむ。それに実を言うと殆どテイラー展開の説明の大事なところは終わったのだ。消化不良を起こすといけないから、宿題を出して第二回は終わりにしようと思う。結構疲れた・・・
宿題１．(1+x)10 = a0 + a1x + a2x2 + … + a10x10 で係数 a0， a1， a3を求めよ。
宿題２．(2+3x)2 = a0 + a1x + a2x2 で微分とｘにゼロ代入する方法を組み合わせて３っつの係数を求めよ。
問題：以下の恒等式で？になっている所に入る数字を求めよ。
(1+x)3 = + 3 x+ 3 x2 + x3 (1+x)4 = 1+ x+ 6 x2 + 4 x3+x4 (1+x)6 = 1+ 6 x+ 15 x2 + x3+15 x4 + 6 x5 + x6これは簡単すぎだろうか、公式を覚えてない人も(1+x)を何回か丁寧にかけてやれば答えが分るはずだ。 単純な計算だがこれは結構面倒な操作なのだ。特に掛ける回数が多くなれば厄介だ。何か巧い方法はないのだろうか？実はわざわざ左辺を展開して計算する必要はない。これらの式はｘに何を入れても成立する関数等式なのだから適当な値をｘに入れても成立する。この事に気がつけばうまいｘを選んで？の係数の情報を引き出してやる事ができるのだ。簡単にやるには両辺の式にx=0を代入してみると良い。
(1+x)3 = + 3 x+ 3 x2 + x3 両辺に x = 0 を代入(1+0)3 =
+ 3*0 + 3*02 + 03 左辺は１3で、右辺は？以外の項はすべてゼロである。何故ならゼロを何乗してもゼロだからだ。よって？に入る数は1と答えが出る。
それでは次の２問目も同じようにやってみると
(1+x)4 = 1 + x + 6 x2 + 4x3 + x4 両辺に x = 0 を代入(1+0)4 = 1 +
*0 + 6*02 + 4*03 + 04となり間違いではないが、？の項にもゼロがかかっているのでこれでは14 = 1という当然の結果がわかるだけで収穫がない。普通のひとならここであきらめ、素直に左辺をコツコツと展開して答えを得る。しかし偉い人がいた、３００年昔テイラーさん（Brook Tayler）は両辺を微分したら良いと言い出した。取り合えずテイラーさんの言うとおりにｘで微分してみよう。
の微分： 4*(1+x)3 = 0 + + 6*2*x + 4*3*x2 + 4*x3なんと右辺の第一項にあった１が微分で消えて？の項が最初の項になったではないか。この式も依然関数等式なのでｘに何をいれても成立する。ここでｘ＝０を代入してみよう。
の微分にｘ＝０代入： 4*(1+0)3 = 0 + + 6*2*0 + 4*3*02 + 4*03 ？の項以外は全てゼロがかかる。つまり左辺：4*13で右辺は？の項のみであるから答えは
= 4である。同じ要領で三番目の問題も解くのだが、今度はx3の係数が知りたいのだ。テイラー先生の教えてくれたｘで微分する方法をやってみるが巧くいかない。色々考えた挙句に微分する回数を増やすとどうだろうかと気づく。そこで３回微分してからｘ＝０を代入してみよう。
の３回微分： 6*5*4*(1+x)3 = *3*2*1 + 15*4*3*2*x + 6*5*4*3*x2 + 6*5*4*x3３回微分したことによって?より前にあった項は全て消えた、なぜなら３回微分して残るのxの冪が３以上必要なのだ。ここでｘ＝０とおくと?より後ろにある項は全てゼロがかかり消える？。つまり
6*5*4*13 =
*3*2*1答えは
= 6*5*4/(3*2*1)かなりのんびりとのろのろペースでやっているが、焦ってはいけない。
何事も基本が大事だ、基礎を固めておけば後で無駄な苦労をしなくてすむ。それに実を言うと殆どテイラー展開の説明の大事なところは終わったのだ。消化不良を起こすといけないから、宿題を出して第二回は終わりにしようと思う。結構疲れた・・・
宿題１．(1+x)10 = a0 + a1x + a2x2 + … + a10x10 で係数 a0， a1， a3を求めよ。
宿題２．(2+3x)2 = a0 + a1x + a2x2 で微分とｘにゼロ代入する方法を組み合わせて３っつの係数を求めよ。
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