2017-08

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≪ 高校生でもできるテイラー展開 その1 ALL Q002 気体の入った缶  ≫

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高校生でもできるテイラー展開 その2

それではテイラー展開のやり方についてボチボチ説明をして行こうと思う。以下では微分積分の基礎的な事は知っているものと仮定する。難しい一般論をやる前にちょっと練習をしておこう。

問題:以下の恒等式で?になっている所に入る数字を求めよ。

(1+x)3 =  + 3 x+ 3 x2 + x3

(1+x)4 = 1+ x+ 6 x2 + 4 x3+x4

(1+x)6 = 1+ 6 x+ 15 x2 + x3+15 x4 + 6 x5 + x6



これは簡単すぎだろうか、公式を覚えてない人も(1+x)を何回か丁寧にかけてやれば答えが分るはずだ。 単純な計算だがこれは結構面倒な操作なのだ。特に掛ける回数が多くなれば厄介だ。何か巧い方法はないのだろうか?実はわざわざ左辺を展開して計算する必要はない。これらの式はxに何を入れても成立する関数等式なのだから適当な値をxに入れても成立する。この事に気がつけばうまいxを選んで?の係数の情報を引き出してやる事ができるのだ。簡単にやるには両辺の式にx=0を代入してみると良い。

 (1+x)3 =  + 3 x+ 3 x2 + x3
両辺に x = 0 を代入
   (1+0)3 = + 3*0 + 3*02 + 03

左辺は13で、右辺は?以外の項はすべてゼロである。何故ならゼロを何乗してもゼロだからだ。よって?に入る数は1と答えが出る。

それでは次の2問目も同じようにやってみると

(1+x)4 = 1 + x + 6 x2 + 4x3 + x4
両辺に x = 0 を代入
  (1+0)4 = 1 + *0 + 6*02 + 4*03 + 04

となり間違いではないが、?の項にもゼロがかかっているのでこれでは14 = 1という当然の結果がわかるだけで収穫がない。普通のひとならここであきらめ、素直に左辺をコツコツと展開して答えを得る。しかし偉い人がいた、300年昔テイラーさん(Brook Tayler)は両辺を微分したら良いと言い出した。取り合えずテイラーさんの言うとおりにxで微分してみよう。

の微分:  4*(1+x)3 = 0 + + 6*2*x + 4*3*x2 + 4*x3

なんと右辺の第一項にあった1が微分で消えて?の項が最初の項になったではないか。この式も依然関数等式なのでxに何をいれても成立する。ここでx=0を代入してみよう。

の微分にx=0代入: 4*(1+0)3 = 0 + + 6*2*0 + 4*3*02 + 4*03

?の項以外は全てゼロがかかる。つまり左辺:4*13で右辺は?の項のみであるから答えは = 4である。

同じ要領で三番目の問題も解くのだが、今度はx3の係数が知りたいのだ。テイラー先生の教えてくれたxで微分する方法をやってみるが巧くいかない。色々考えた挙句に微分する回数を増やすとどうだろうかと気づく。そこで3回微分してからx=0を代入してみよう。

の3回微分:  6*5*4*(1+x)3 = *3*2*1 + 15*4*3*2*x + 6*5*4*3*x2 + 6*5*4*x3


3回微分したことによって?より前にあった項は全て消えた、なぜなら3回微分して残るのxの冪が3以上必要なのだ。ここでx=0とおくと?より後ろにある項は全てゼロがかかり消える?。つまり


6*5*4*13 = *3*2*1


答えは = 6*5*4/(3*2*1)

かなりのんびりとのろのろペースでやっているが、焦ってはいけない。
何事も基本が大事だ、基礎を固めておけば後で無駄な苦労をしなくてすむ。それに実を言うと殆どテイラー展開の説明の大事なところは終わったのだ。消化不良を起こすといけないから、宿題を出して第二回は終わりにしようと思う。結構疲れた・・・

宿題1.(1+x)10 = a0 + a1x + a2x2 + … + a10x10 で係数 a0, a1, a3を求めよ。

宿題2.(2+3x)2 = a0 + a1x + a2x2 で微分とxにゼロ代入する方法を組み合わせて3っつの係数を求めよ。

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答えのない宿題

答えのない宿題って、だめでしょうか?

宿題の答えってどこにあるんですかね?

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