2017-10

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≪ 一次元量子力学 井戸型ポテンシャル1 ALL 離散関数のフーリエ変換 その2 ≫

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離散関数のフーリエ変換 その1

離散フーリエ変換は工学の分野では常識だろう。通常のフーリエ変換がアナログ波をフーリエ変換したものだとするなら、離散フーリエ変換はデジタル信号をフーリエ変換したものだ。以下ではデジタル波をf[n]と表す。丸括弧( )ではなく角括弧[ ]を使ってこの関数が整数点n のみで定義される関数であることを示す。例えば n=0,1,2,3,4,…という点でのfの値がf[1],f[2], f[3], f[4],…で与えられる。さてこの離散的な関数が与えられたときのフーリエ変換 F(k) を

F(k)≡ Σn ei k n f[n]

で定義する。整数点のみの情報をもつf[n]から新たな関数F(k)を作り出したと思ってよい。ここで n=整数であることに注意すれば F(k+2π)=F(k) と、F2π周期をもった関数であることが分る(補足1)。よって0 ≦ k < 2π のみを考えれば十分だ。 さてここで次のような疑問がわくだろう。フーリエ変換F(k) からもとの離散関数 f[n] を再構成できるだろうか? 答えはもちろん「Yes」、フーリエ変換があれば元の関数は作れるのだ。それは次のようにやれば良い

f?[n]=∫dk/(2π) e-ikn F(k) ,     (0≦k<2π で積分)

この関数がf[n]に等しいことはまだ証明されていないので注意書きとして肩に?をつけたが証明はいたって簡単である。F(k)の定義を代入してやると

∫dk/(2π) e-ikn F(k)
= ∫dk/(2π) e-ikn Σm ei k mf[m]
= Σmf[m]∫dk/(2π) e-ikn ei k m
= Σmf[m]∫dk/(2π) e-ik(n-m)
= Σmf[m]δn,m   , (→補足2参照)
= f[n]

これで関数f?[n]は元の離散関数に一致することが証明できたので肩の?を取り外してよい。まとめておこう。
=========== 離散関数のフーリエ変換 =========================

F(k)≡ Σn ei k n f[n]


f[n]=∫dk/(2π) e-ikn F(k) ,     (0≦k<2π で積分)

=============================================================
フーリエ変換はF(k) 0 ≦ k < 2π で定義された関数、元の離散関数は整数点n={…,0,1,2,…,∞}で定義された関数。この対応はなかなか面白い。

離散的空間:    ⇔   制限された運動量空間 
x = {…,0,1,2,…,∞}   ⇔  0 ≦ k < 2π


量子力学でいえば不確定性関係に相当する。この関係は通常のフーリエ級数が周期的関数f(x)を離散的な運動量 k=2πn/Lを使って表すことと逆の関係になっていることに気がつく。つまりフーリエ級数は

周期関数f(x)   ⇔   離散運動量
0 ≦ x < L   ⇔   k = 2πn/L

フーリエ級数では離散運動量の波をeikxで表したり、それと等価なsin, cos を使った表現などもよく見る; フーリエ波: F[k] = {sin((2π/L)nx), cos((2π/L)nx)}。 つまり離散空間のフーリエ変換は周期関数のフーリエ変換と逆の関係だということがわかるだろう。これは数学的には当然で、運動量と座標を読み替えただけの事だ。

(補足1) F(k)の周期性

F(k+2π) = Σn ei (k+2π) n f[n]
= Σn ei k n ei 2π n f[n]
= Σn ei k n f[n]
= F(k)

最後の変形でnが整数であることに注意すれば  ei 2 π n=1であることを使った。

(補足2)∫dk/(2π) ei k (n-m) = δn, m
の証明


∫dk/(2π) ei k (n-m)
= -i/(n-m) [ei k (n-m)]k=0, 2π
= -i/(n-m)×( e2πi(n-m) - e0)
= -i/(n-m)×( 1 - 1 )
= 0

この計算はn-m = 0の時は適用できないので、あらためてn=mをやると

∫dk/(2π) ei k (n-m)|n=m
= ∫dk/(2π) ei k 0
= ∫dk/(2π) 1
= 1 ,           (積分範囲が0~2πであることに注意)

証明終わり。

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