2017-06

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≪ 離散関数のフーリエ変換 その1 ALL 一次元量子力学 井戸型ポテンシャル2 ≫

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離散関数のフーリエ変換 その2

図のような関数を離散フーリエ変換してみよう。

f[n] =  1 , (0 ≦ n ≦ 10)
   =  0 (それ以外)

FT01.gif



離散関数f[n]に対するフーリエ変換F(k)は前回定義した。それにしたがって計算すると

F(k) = Σn eikn f[n] = Σn=010 eikn
= 1 + eik +e2ik + e3ik + … + e10ik
= e5i k sin(11k/2)/sin(k/2)

前回説明したようにフーリエ変換F(k)2πの周期関数となるので 0 ≦ k ≦ 2πだけを考えればよいのだった。求めたF(k)の実部と虚部を図に描くと実際周期関数になっている。
FT02.gif

フーリエ逆変換によってもとの関数が再構成されるか見てみよう。f[n]F(k)の関係は

f[n] = ∫dk/(2π) e-iknF(k)

であった。逆変換からつくられたf[n]を黒い点線で図に描いた。注意して欲しいのはf[n]nが整数以外でも値を持っているような描き方をしたがこれには意味がない。もともと整数点でしか定義されてない関数f[n]からフーリエ変換を求めた。したがって逆変換したからといって整数点以外の値には意味がないのは当然だ。図には整数点での値を赤い点で示しが、これが元の関数に一致しているかどうかだけが問題だ。図をみればそれは明らかだろう、逆変換して元の関数は再現されている。
FT03.gif



このように離散関数のフーリエ変換からもとの関数を再構成することができるということを納得してもらえただろうか。他にも色々とフーリエ変換をやってみると面白い。機会があれば離散関数のフーリエ変換が物理でどのように応用されているのか説明したいが、区切りがいいので取り合えずここまでにしておこう。宿題として下図の関数のフーリエ変換を求めて欲しい。

f[n] = sin2(πn/10) , ( 0 ≦ n ≦ 10)
= 0 , (それ以外)

上の例で求めたフーリエ変換をA(k) ≡ e5i k sin(11k/2)/sin(k/2)とすると、これを用いて答えは

F(k) = (1/2)[ A(k)- (1/2)A(k+π/5) - (1/2)A(k-π/5)]

と書ける。ヒントは三角関数を指数関数で表すとよいということだ。
FT05.gif

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