アトムの物理ノート

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ある日ゼノンは道端であった高校生に最近習ったlog(1+x)のテイラー展開の公式

log(1+x)= x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + x⁵/5 -　…

を使うと素晴らしい公式が導けることを語った。 彼によるとx=1を代入すると

1/1 - 1/2 +1/3 - 1/4 +1/5 - 1/6 +1/7 - 1/8 +　 ..... = log(2)

が導けるのだという。そこで高校生はゼノンに言った、「その和はlog(2)ではなくゼロであることが証明できるのです。」そして次のことを示した。

S　=　1/1 - 1/2 +1/3 - 1/4 +1/5 - 1/6 +1/7 - 1/8 +　 .....

= 1/1 - 1/2 - 1/4
+1/3 - 1/6 - 1/8
+1/5 - 1/10 - 1/12
+1/7 - 1/14 - 1/16
+　 .....

= (1/1 - 1/2 ) - 1/4
+(1/3 - 1/6 ) - 1/8
+(1/5 - 1/10) - 1/12
+(1/7 - 1/14) - 1/16
+　…

　 = ( 1/2 ) - 1/4
+ ( 1/6 ) - 1/8
+ ( 1/10 ) - 1/12
+ ( 1/14 ) - 1/16
+ …

= 1/2[ 1/1 - 1/2 +1/3 - 1/4 +1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 +… ]

=(1/2)×S

つまりＳ = S/2 から Ｓ＝０ である。 　この証明をみたゼノンは「私はテイラー展開を勉強するには早すぎた。」と言って彼の発見した公式を取り下げてしまった。　さてこれでいいのだろうか？