補間法 ４
前回ラグランジェのデルタ関数を導入した。その定義は
ΔA(x - xi) = Πj≠i (x - xj)/(xi-xj)
である。 ｊについて積をとるが、j=i は除く。 いちいちｘiがA の要素だと明示する必要もないだろうから、これをΔ(x-xi)と書く。 この定義から次の事が導かれる。
(1) ラグランジェのΔ関数はxに関する多項式である。
（２）ラグランジェのデルタ関数は次の性質を満たす。
Δ(xi - xi)＝１
Δ(xk - xi)＝０ （ｋ≠i）
ΔA(x - xi) = Πj≠i (x - xj)/(xi-xj)
である。 ｊについて積をとるが、j=i は除く。 いちいちｘiがA の要素だと明示する必要もないだろうから、これをΔ(x-xi)と書く。 この定義から次の事が導かれる。
(1) ラグランジェのΔ関数はxに関する多項式である。
（２）ラグランジェのデルタ関数は次の性質を満たす。
Δ(xi - xi)＝１
Δ(xk - xi)＝０ （ｋ≠i）
補間法 ３
前回の記事を引き継ぎ、いよいよラグランジェの補間について説明を始める。その基本となるのがラグランジェのデルタ ΔA(x,xi）で、クロネッカーのデルタを拡張したような関数なのである。 申し訳ないが、この「ラグランジェのデルタ関数」、私が勝手にそう呼んでいるだけであって、一般的な名前ではないのでこのブログ以外では通用しないということを覚えていてほしい。
さてラグランジェのデルタ関数、ΔA(x,xi)だが、これはｘの関数で、二つ目の変数として入っている xiは集合Aの要素である。 例えば A＝{1,2,3}でxiとしては１，２，３の三通りのデルタ関数が作られる。 ここではｘは実数のみを扱いAは実数の有限集合としておく。さてラグランジェのデルタ関数の持つ性質として
ΔA(xi , xi) ＝ 1
ΔA(xi , xj) ＝ ０ （i≠ｊ）
がある。このような関数は幾通りも作れるのだが、ラグランジェは非常にエレガントな表式を生み出した。 コンパクトで後々の補間法で便利に使えるものである。 ところで ｘ が x∈Aの場合は上で定義されているのだが、xが集合Aに属さない場合にはどんな値になっているのか不明である。
さてラグランジェのデルタ関数、ΔA(x,xi)だが、これはｘの関数で、二つ目の変数として入っている xiは集合Aの要素である。 例えば A＝{1,2,3}でxiとしては１，２，３の三通りのデルタ関数が作られる。 ここではｘは実数のみを扱いAは実数の有限集合としておく。さてラグランジェのデルタ関数の持つ性質として
ΔA(xi , xi) ＝ 1
ΔA(xi , xj) ＝ ０ （i≠ｊ）
がある。このような関数は幾通りも作れるのだが、ラグランジェは非常にエレガントな表式を生み出した。 コンパクトで後々の補間法で便利に使えるものである。 ところで ｘ が x∈Aの場合は上で定義されているのだが、xが集合Aに属さない場合にはどんな値になっているのか不明である。
補間法 ２
暫く補間という言葉を忘れてのんびりいこう。
線形代数の復習として次のような問題を考える。
-------------------------------------------------------------------
（問題）任意のｎ次元ベクトルV＝(V1,V2,........,Vn)を eaで分解する。
V=Σa ca ea .......(1)
この分解が可能である十分条件として
Σa ea ea =1 ..........(2)
を示せ。（つまり（２）→（１）を説明せよということ）
-------------------------------------------------------------------
表記をシンプルにするために正確さを犠牲にした。 多少説明を加えると、(2) の右辺1はnxnの単位行列のことであり、右辺と左辺のベクトルの足をすべて陽に書きだすと
Σa ( ea)i ( ea)j = (1)ij
の意味である。i , j はベクトルの成分を表しaは基底ベクトルがｎ個存在するはずなのでそれらを区別するために導入されたインデックス。
線形代数の復習として次のような問題を考える。
-------------------------------------------------------------------
（問題）任意のｎ次元ベクトルV＝(V1,V2,........,Vn)を eaで分解する。
V=Σa ca ea .......(1)
この分解が可能である十分条件として
Σa ea ea =1 ..........(2)
を示せ。（つまり（２）→（１）を説明せよということ）
-------------------------------------------------------------------
表記をシンプルにするために正確さを犠牲にした。 多少説明を加えると、(2) の右辺1はnxnの単位行列のことであり、右辺と左辺のベクトルの足をすべて陽に書きだすと
Σa ( ea)i ( ea)j = (1)ij
の意味である。i , j はベクトルの成分を表しaは基底ベクトルがｎ個存在するはずなのでそれらを区別するために導入されたインデックス。
補間法 1
補間とは、与えられた有限個のサンプリング・ポイントを基にしてもともとの関数を推定する作業である。この作業には与えられた点aとbの間での関数値 f(x) ; x=(a,b) を推定する内挿と、与えられた点から外にはみ出した領域 x < a またはx>b での関数値を求める外挿があるが、日本語での《補間》はおそらく前者に限った用語であろう。
その昔補間と聞いてデーター解析などを専門にしない限りお目に掛かることはないだろうと思っていたが必ずしもそうではない。 そもそも補間法は、データーが存在しない点ｘでの関数値ｆ（ｘ）を推定するために使うものであるが、それ以外にも使い道はいろいろある。例えば大量のデーターをそのまま扱うよりもサンプリング・ポイントを減らし、代わりに補間法を用いた方がずっと解析が速いということがある。 またガウス積分法などの数値積分では効率良く値を求めるために補間法が用いられる。 これらの目的にはわざわざ自分でプログラミングする必要はなく既存の物を使えばすむ事であるが、すべてをブラック・ボックスとして受け入れるのも多少気が引ける。 かといって専門的に勉強するのはこれまた大変なことである。 そういった場合に「詳細に立ち入ることなく平易な解説があれば良いなあ」と思うこともしばしば。 そこで今回は、私が調べたラグランジェの多項式補間の方法をここに解説したい。これはガウス積分での応用まで含めて３，４回の記事になる予定である。
工学的なイメージの強い《補間法》に大数学者ラグランジェの名前がついているのは多少驚きであるが、一昔前にはこういった分野も数学における最先端の研究であったのだろう。 後ほど触れるガウス積分はラグランジェの補間法を使えばエレガントに導出できるのでそのことについても触れる予定である。 ラグランジェとガウスに関してLとG 数学者群像 （ちょっといい話）に興味深い記事がある。 それ以外にも「ちょっといい話」のページ楽しく読める記事がいろいろあるので是非訪問してください。
その昔補間と聞いてデーター解析などを専門にしない限りお目に掛かることはないだろうと思っていたが必ずしもそうではない。 そもそも補間法は、データーが存在しない点ｘでの関数値ｆ（ｘ）を推定するために使うものであるが、それ以外にも使い道はいろいろある。例えば大量のデーターをそのまま扱うよりもサンプリング・ポイントを減らし、代わりに補間法を用いた方がずっと解析が速いということがある。 またガウス積分法などの数値積分では効率良く値を求めるために補間法が用いられる。 これらの目的にはわざわざ自分でプログラミングする必要はなく既存の物を使えばすむ事であるが、すべてをブラック・ボックスとして受け入れるのも多少気が引ける。 かといって専門的に勉強するのはこれまた大変なことである。 そういった場合に「詳細に立ち入ることなく平易な解説があれば良いなあ」と思うこともしばしば。 そこで今回は、私が調べたラグランジェの多項式補間の方法をここに解説したい。これはガウス積分での応用まで含めて３，４回の記事になる予定である。
工学的なイメージの強い《補間法》に大数学者ラグランジェの名前がついているのは多少驚きであるが、一昔前にはこういった分野も数学における最先端の研究であったのだろう。 後ほど触れるガウス積分はラグランジェの補間法を使えばエレガントに導出できるのでそのことについても触れる予定である。 ラグランジェとガウスに関してLとG 数学者群像 （ちょっといい話）に興味深い記事がある。 それ以外にも「ちょっといい話」のページ楽しく読める記事がいろいろあるので是非訪問してください。
論理と直感のはざまで １０
弟１０夜
タイトルの「論理と直感のはざまで」であるが、実は論理と直感、どちらを先におくべきかなと悩んでいた。 私が優先したいのは直感であるが、それは素朴な直感ではなく、論理によって鍛えられた直感である。 論理を踏んだ上で、築き上げたられた後付の直感である。 論理は必要だが、それだけでは虚しく感じてしまうからである。 そんな訳で、どちらを先におくべきかと悩んでいたが、結局なんとなく「論理と直感のはざまで」の方が語呂がいいようなので、これに固定しようと思う。
久しぶりに自分の書いた記事を読み返すと、記事ごとにテーマが微妙にずれているし、置き去りにされた話題もあるようだが、まあ、数学に関係して思いついたことをダラダラと書いているわけで、特に目的もないのでこれはこれで良しとしよう。
タイトルの「論理と直感のはざまで」であるが、実は論理と直感、どちらを先におくべきかなと悩んでいた。 私が優先したいのは直感であるが、それは素朴な直感ではなく、論理によって鍛えられた直感である。 論理を踏んだ上で、築き上げたられた後付の直感である。 論理は必要だが、それだけでは虚しく感じてしまうからである。 そんな訳で、どちらを先におくべきかと悩んでいたが、結局なんとなく「論理と直感のはざまで」の方が語呂がいいようなので、これに固定しようと思う。
久しぶりに自分の書いた記事を読み返すと、記事ごとにテーマが微妙にずれているし、置き去りにされた話題もあるようだが、まあ、数学に関係して思いついたことをダラダラと書いているわけで、特に目的もないのでこれはこれで良しとしよう。
微分可能でテイラー展開不可能
（この記事は、テイラー展開について多少知識を持っている方のみを対象として書いています。）
解析接続の記事で、「解析性」を「微分可能性」だと考えると大体良いというようなことを書いたが、正確ではない。 複素関数論の解析性について説明するのは荷が重いので、実関数に限り、関数の微分可能性と、その連続性、またそのテイラー展開可能性についての話をしてお茶を濁すとしよう。
このテーマは「論理と直感のはざまで」の弟９回の高木関数、そして１０回の関数の連続性の定義とも関係しているのでそちらも参考にして欲しい。
解析接続の記事で、「解析性」を「微分可能性」だと考えると大体良いというようなことを書いたが、正確ではない。 複素関数論の解析性について説明するのは荷が重いので、実関数に限り、関数の微分可能性と、その連続性、またそのテイラー展開可能性についての話をしてお茶を濁すとしよう。
このテーマは「論理と直感のはざまで」の弟９回の高木関数、そして１０回の関数の連続性の定義とも関係しているのでそちらも参考にして欲しい。
