直感と論理のはざまで ７
関数の極限について多少触れたが、そもそもε−δ論法が力を発揮するのは、我々の想像を超えた関数の連続性や微分可能性について知りたいときだろう。 関数をグラフに描くことができれば、大体それらが連続か不連続なのかは既に分かるだろう。 しかしグラフに描けない関数の場合、連続，不連続の判断をどうすれば良いのだろうか。 それには直感に頼らない数式による連続性の定義が必要になる。 当にε−δの出番だ。
直感と論理のはざまで ６
証明を具体的に考えてなかったが、 俄僅 さんの書き込みをみて記事にまとめました。
大体において 俄僅 さんの証明と同じですが、多少短く書く工夫をしました。 間違いなどありましたらまた、連絡下さい。
大体において 俄僅 さんの証明と同じですが、多少短く書く工夫をしました。 間違いなどありましたらまた、連絡下さい。
直感と論理のはざまで ５
コメント欄に数式を書き込むのは面倒なので記事としてアップします。
証明したいのは
limn→∞ an = a (≠0)
のときに、
limn→∞ 1/an =1/a
を示す事。勿論ε−δ論法を使っての証明です。
証明したいのは
limn→∞ an = a (≠0)
のときに、
limn→∞ 1/an =1/a
を示す事。勿論ε−δ論法を使っての証明です。
直感と論理のはざまで ４
イプシロン・デルタ論法が分からないという人の多くは、本当に「イプシロン・デルタ論法のロジック」が分からないという以前に、何故そんなややこしい定義を持ち出すんだ、それって必要なのか？そういうところで思考停止している事が多いと思われる。
正直な所、私も使いやすいから使っている以上の理解をしておらず、「それって本当に必要なの？」という質問に答える事ができない。どのように使いやすいか、それは具体例をやってみれば分かる。イプシロン・デルタ論法でなければ難しいと言われている次の証明問題を考えてみる。
[問題] lim→∞ an = a の場合に、
lim→∞ ( a1 + a2 + a3 + ....... + an)/n = a を証明せよ。
正直な所、私も使いやすいから使っている以上の理解をしておらず、「それって本当に必要なの？」という質問に答える事ができない。どのように使いやすいか、それは具体例をやってみれば分かる。イプシロン・デルタ論法でなければ難しいと言われている次の証明問題を考えてみる。
[問題] lim→∞ an = a の場合に、
lim→∞ ( a1 + a2 + a3 + ....... + an)/n = a を証明せよ。
直感と論理のはざまで ３
第三夜
イプシロン・デルタ論法は直感的に分かり辛いというのが、よく言われることではある。確かに一見分かり辛いことを承知のうえで、実はそう難しいことを言っているわけでもないだろうという事を書きたい。
直感と論理のはざまで ２
二夜
「関数f(x)がｘ＝x0でaに収束する」を高校数学では
（１） limx→x0 f(x) = a
と書けばすんだ。 多少長くなるが、大学では
（２） ∀ε>0 , ∃δ>0 s.t. | x - x0| < δ → | f(x) - a| < ε
と表現する。イプシロン・デルタ論法である。大抵の人には（１）の方が分かりやすく、（２）は意味を理解するために暫しの時間を要する。 イプシロン・デルタ論法は一見複雑なのだが、直感的を廃した証明が可能になるという大きなメリットがある。
直感と論理のはざまで
一夜
数学を理解するためには、数学の言葉を使わなくてはならない。それらは数であり、記号であり、論理である。公理を掲げ、定理を演繹、証明する。公理とは「なぜ？」という疑問に対して答えを諦めざるえない命題であり、定理は公理を受け入れたときに導かれる(＝証明）ものである。
数学を理解するためには、数学の言葉を使わなくてはならない。それらは数であり、記号であり、論理である。公理を掲げ、定理を演繹、証明する。公理とは「なぜ？」という疑問に対して答えを諦めざるえない命題であり、定理は公理を受け入れたときに導かれる(＝証明）ものである。
