直感と論理のはざまで ３
第三夜
イプシロン・デルタ論法は直感的に分かり辛いというのが、よく言われることではある。確かに一見分かり辛いことを承知のうえで、実はそう難しいことを言っているわけでもないだろうという事を書きたい。
直感と論理のはざまで ２
二夜
「関数f(x)がｘ＝x0でaに収束する」を高校数学では
（１） limx→x0 f(x) = a
と書けばすんだ。 多少長くなるが、大学では
（２） ∀ε>0 , ∃δ>0 s.t. | x - x0| < δ → | f(x) - a| < ε
と表現する。イプシロン・デルタ論法である。大抵の人には（１）の方が分かりやすく、（２）は意味を理解するために暫しの時間を要する。 イプシロン・デルタ論法は一見複雑なのだが、直感的を廃した証明が可能になるという大きなメリットがある。
直感と論理のはざまで
一夜
数学を理解するためには、数学の言葉を使わなくてはならない。それらは数であり、記号であり、論理である。公理を掲げ、定理を演繹、証明する。公理とは「なぜ？」という疑問に対して答えを諦めざるえない命題であり、定理は公理を受け入れたときに導かれる(＝証明）ものである。
数学を理解するためには、数学の言葉を使わなくてはならない。それらは数であり、記号であり、論理である。公理を掲げ、定理を演繹、証明する。公理とは「なぜ？」という疑問に対して答えを諦めざるえない命題であり、定理は公理を受け入れたときに導かれる(＝証明）ものである。
漸近級数 ５
漸近級数について書いてきたがそろそろ疲れがでてきた。やはり物理に関する事を少し離れただけで、やる気を持続するのは難しい。そういうわけで今回は証明はおろか具体例も抜きで、漸近級数に関する性質を箇条書きする。機会をみて詳しい説明をつけるつもりだが、当分先の話だろう。とりあえず私が知っていることは全て書いたので、漸近級数に関する記事はこれで最後にする。
漸近級数 ３
前回までの漸近級数の記事で、漸近級数というものについて、一応分かってもらえたのではないかと期待する。ただ、具体例をあまりやっていないので、テイラー展開との違いがまだしっくりこないかもしれない。前回漸近級数の具体例として考えたE(x)をもう少しじっくり調べてみる。
E(x)＝∫x dt et-x/t
この関数は積分指数関数Ei(x)と呼ばれるものにe-xをかけたものである。公式集などを参考にするかもしれない人のためにその関係を書くと
E(x)＝e-xEi(x)
となる。前回やったように、x→ -∞での漸近級数は、
e-xEi(x) 〜 0!x-1 + 1! x-2 + 2! x-3 + ..... + (n-1)!x-n
である。
E(x)＝∫x dt et-x/t
この関数は積分指数関数Ei(x)と呼ばれるものにe-xをかけたものである。公式集などを参考にするかもしれない人のためにその関係を書くと
E(x)＝e-xEi(x)
となる。前回やったように、x→ -∞での漸近級数は、
e-xEi(x) 〜 0!x-1 + 1! x-2 + 2! x-3 + ..... + (n-1)!x-n
である。
