有料道路問題
[制限時間なし]
久しぶりに科学クイズを出題したいと思います。クイズというよりは数学問題かもしれません。暇な人は問題をいろいろといじって遊んでください。
図のような山を点と点をつなぐ径路にそって右の方へ移動していきます。左方向への戻りは出来ません。（iは歩幅でnは高度だと思ってください）。高度kの地点からの次の移動方法は
（１）登り (i,ｋ)→(i+1,k+1) 道路税 ￥1/(√(k+1))
（２）平行移動 (i,k)→(i+2,k) 道路税 ￥(-1/k)
（３）下り (i,k)→(i+1,k-1) 道路税 ￥(√k)/(k-1)
となっています。平行移動は二歩進まなければならない事に注意してください。
Q1. (1,1)から出発して(i,k)にたどり着く径路毎の料金をi=１，２，３の場合に具体的に求めよ。
Q2.(1,1)から出発して(i,k)にたどり着く可能な径路の全てを考えた場合の平均の料金をもとめよ。
Q3.平均の料金に関する一般式を考えよ。
久しぶりに科学クイズを出題したいと思います。クイズというよりは数学問題かもしれません。暇な人は問題をいろいろといじって遊んでください。
図のような山を点と点をつなぐ径路にそって右の方へ移動していきます。左方向への戻りは出来ません。（iは歩幅でnは高度だと思ってください）。高度kの地点からの次の移動方法は
（１）登り (i,ｋ)→(i+1,k+1) 道路税 ￥1/(√(k+1))
（２）平行移動 (i,k)→(i+2,k) 道路税 ￥(-1/k)
（３）下り (i,k)→(i+1,k-1) 道路税 ￥(√k)/(k-1)
となっています。平行移動は二歩進まなければならない事に注意してください。
Q1. (1,1)から出発して(i,k)にたどり着く径路毎の料金をi=１，２，３の場合に具体的に求めよ。
Q2.(1,1)から出発して(i,k)にたどり着く可能な径路の全てを考えた場合の平均の料金をもとめよ。
Q3.平均の料金に関する一般式を考えよ。
Ｑ１９の解答２
科学クイズの１９問目は以下のnについての和
A(k) = Σn=1〜∞ 1/[n(n+1)(n+2)(n+3)....(n+k)] = Σn=1〜∞ (n-1)!/(n+k)!
をどうやるかという事でした。前回一つの解法を記事にしました。今日は別法を書きたいと思います。この問題に限ればエレガントさという面で以前の解法が優れています。しかし解析学の面からみれば以下の方法の方が面白いのではないかと思います。少しばかり知識を必要としますがじっくり計算をおえば難しくないでしょう。
A(k) = Σn=1〜∞ 1/[n(n+1)(n+2)(n+3)....(n+k)] = Σn=1〜∞ (n-1)!/(n+k)!
をどうやるかという事でした。前回一つの解法を記事にしました。今日は別法を書きたいと思います。この問題に限ればエレガントさという面で以前の解法が優れています。しかし解析学の面からみれば以下の方法の方が面白いのではないかと思います。少しばかり知識を必要としますがじっくり計算をおえば難しくないでしょう。
Q19の解答
科学クイズＱ１９の解き方（その１）です。問題を読んでない方はそちらからどうぞ。それにしても科学クイズの割には近頃数学の問題が多くなっていますね。数学も科学ということで勘弁してください。
Q１９ 級数和に関する問題
世の中には面白い級数和が色々あります。例えばΣn=11/n2 = 1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ・・・・ = π2/6 などは非常に綺麗な公式でしょう。自然数の逆冪二乗和を取ると超越数であるπの二乗と関係がつくという不思議があります。こういった級数の計算に抜群なセンスを発揮し次々と素晴らしい公式を作り上げていったのは18世紀の天才数学者レオンハルト・オイラーです。天才の仕事というのは高度に抽象的なものが多いためアマチュア数学者などには理解し難い面がありますが、オイラーの級数和に関する限り私達にも彼の天才的なヒラメキの一端を垣間見ることが出来るものだと思います。オイラーが求めた級数として
Σn=1 1/n = ∞
Σn=1 1/n2 = π2/6
Σn=1 1/n3 ≡ ζ(3)
Σn=1 1/n4 = π4/90
などは良くお目にかかります。（逆奇数冪和はπなどを使って表せない数であると思われていてζ(3)などと書きます。）
Σn=1 1/n = ∞
Σn=1 1/n2 = π2/6
Σn=1 1/n3 ≡ ζ(3)
Σn=1 1/n4 = π4/90
などは良くお目にかかります。（逆奇数冪和はπなどを使って表せない数であると思われていてζ(3)などと書きます。）
Q18 和集合の大きさ関する公式
和集合の大きさ |∪Ai|に関する次のような公式の証明を問題としたい。少しばかり驚きに値するほどシンプルだ、思わず「君は美しい....」と呟いていた。
|∪i Ai| = ΣJ(-1)| J | - 1 | A J |
小文字のアルファベットをi = 1,2,3,...., n
大文字のアルファベットをiで作った集合 J = {i1, i2, i3,....... }≠φ とする。
集合Aiの要素の数を | Ai |
積集合を AJ ≡ ∩i∈J Ai
|∪i Ai| = ΣJ(-1)| J | - 1 | A J |
小文字のアルファベットをi = 1,2,3,...., n
大文字のアルファベットをiで作った集合 J = {i1, i2, i3,....... }≠φ とする。
集合Aiの要素の数を | Ai |
積集合を AJ ≡ ∩i∈J Ai
Ｑ１７ 優乃の漸化式
優乃さんのブログGraviness BlogにてＮＨＫの高校数学Ｉで出題された問題を一般化したとても綺麗な問題が出題されています。興味がある人は3角形の角のn等分線の長さにトンで覗いてください。ここでは優乃さんが作った問題に現れる次の漸化式の解法を示します。
問題は k, x0, xn+1 が与えられたとして次のｎ個の連立方程式を解け（全ての xm＝０などのつまらない解は除く）。
x0 x1 + x1x2 =k x0 x2............(1)
x1 x2 + x2x3 = k x1 x3...........(2)
x2 x3 + x3x4 = k x2 x4...........(3)
x3 x4 + x4x5 = k x3 x5...........(4)
.......................
xn-1 xn + xnxn+1 = k xn-1 xn+1............(n)
結構面白い問題ですよ、是非トライしてみてください。
問題は k, x0, xn+1 が与えられたとして次のｎ個の連立方程式を解け（全ての xm＝０などのつまらない解は除く）。
x0 x1 + x1x2 =k x0 x2............(1)
x1 x2 + x2x3 = k x1 x3...........(2)
x2 x3 + x3x4 = k x2 x4...........(3)
x3 x4 + x4x5 = k x3 x5...........(4)
.......................
xn-1 xn + xnxn+1 = k xn-1 xn+1............(n)
結構面白い問題ですよ、是非トライしてみてください。
厄介な公式
次のような近似公式が成立するらしい。一晩中頭を悩ませた挙句に何とか自分でも導出できた。うれしさのあまり記念としてここに書きとめておこう。
∫1∞ dx √(x2-1)/(eax-1) = π2/(6a2)-π/(2a)+....
....は a→０の極限で定数になる項、√は分子のみにかかります。公式はaが小さい極限でで成立する近似式で統計力学でよく使う公式らしい。一晩悩んだけど何とか解けたと出題者のアレックスさんに自慢してやった。
∫1∞ dx √(x2-1)/(eax-1) = π2/(6a2)-π/(2a)+....
....は a→０の極限で定数になる項、√は分子のみにかかります。公式はaが小さい極限でで成立する近似式で統計力学でよく使う公式らしい。一晩悩んだけど何とか解けたと出題者のアレックスさんに自慢してやった。
A016 連分数と無理数 （つづき）
クイズ番号Q016で２次方程式を解くと連分数展開の答えが二つでてきてしまう。数学では答えが二つでることも良くあるが、今回の問題は一見答えは正の数に思えるが負の答えもでてくるということが不思議なのだ。前回「A016 連分数と無理数」で少しヒントになることを書いたので分った読者もいるかもしれないが今回続きの記事を書き上げようと思う。前回の記事を読んでない方はそちらから先に読むことを勧めます。
