2017-07

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◆カテゴリー:古典力学
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振り子入門 その4

随分と前に振り子入門と題して、様々な振り子問題を集めて解説しようという企画を始めましたが、三日坊主ならぬ三回坊主でした。 仕事が忙しくて勉強が進まなかったり、PCのハードディスがイカレテ、保存してあったデーターファイルが消えたりといろいろと事情はありましたが時に思い出したように記事を追加する事もあります。今回の記事が当にそれで、振り子入門の第4回目を書こうというわけです。 

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古典力学の理想的状況について その2 (運動量保存)

ニュートン力学を習い始めてしばらくすると、運動量保存則が導入される。たとえば高校物理では、運動量保存則は運動方程式(第二法則)と作用反作用(第三法則)から導かれる一つの定理であるという説明がなされると思う。数学の言葉で言えば、定理とは基本的な公理から導かれるものであり、出発点の公理を認める限り、証明された事実として常に成立する。つまり、運動量保存則はニュートン力学では常に成立する証明済みの事実である。

ところが、少し学習が進むと、どうも運動量保存則は成り立たない場合もあるようだということに気がつく。例えば、重力加速度gで自由落下する物体、中心力ポテンシャルで運動する惑星問題、これらでは運動量保存則は成立しないことになっている。自由落下では速度は増してゆくし、中心力ポテンシャル中の運動では、惑星は回転運動をするわけだから、やはり速度(の方向)がかわっている。速度が変われば運動量は変化する。力学を習い始めた初心者は大いに混乱するだろう。なぜなら運動量保存則は証明された定理だと主張しておきながら、問題によっては運動量保存則が成立しないという例外を見せ付けられることになるからだ。

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ロケット方程式

もっとも簡単なロケットとして質量を後方に吐き出す反作用で飛ぶものを考えよう。質量M、速度Vのロケットが質量の一部(-ΔM)を相対速度u[m/s]で後方に放出し、ロケット自身の質量はM1=M + ΔM 、速度はV1 = V + ΔVになったとしよう。放出部分を除いたロケットの灰色の部分を本体と呼ぶ事にしてその運動量変化を調べると

本体の運動量変化= M1( V1 - V) = M1× ΔV ≒ M ΔV

となる。Δが付いた量はすべて微少量なのでΔの2乗項ΔM×ΔVは無視してM1ΔV = M ΔVとしてよい。また我々はロケットの質量M1の本体部分に着目しているので変化の前後で質量は常にM1であり、運動量変化は速度の変化ΔVのみで決まる。たまに質量が変わる場合の運動量変化を使った説明を見るがここではそういう流儀は取らない。ニュートンの運動方程式は一定質量の物体にのみ使う事にしなければ力の定義が曖昧になるからである。
rocket_01_3.gif

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古典力学の理想的状況について その1

古典力学を習いある程度理解できたと思ったとき、先ずそれは問題を解く方法が分かった、つまりどの式を適用し、どのテクニックを使えば答えにたどり着くのか、そのパターンが身についたという状況であろう。これが理解の第一段階だと私は思う。

そして余裕が出てくると計算テクニックよりも問題の背後にある本質を見抜くことに時間を割くようになる。演習問題の一つ一つを見ることよりも物事を統一的に捉えたいと考えるようになるだろう。この辺りで一つの壁にぶつかるかも知れない。計算はできるがなぜだ釈然としないことがある。それは「運動量保存則」や「エネルギー保存則」に関係したことで、どういった状況でどの保存則を使えばいいのかということが分からなくなることである。

この辺りは大いに混乱が生じるところだろうと、私は思う。ある時には運動量保存則をつかい、別な問題では「運動量保存則は成立しないから…」などという説明に出くわす。いったいどうなっているんだ! 大いに混乱してよろしい、と言わんばかり。そこでこれらの大いなる混乱の元を整理して、状況に応じた適切な保存則の使い方を考えてみたいと思う。これは私自身が混乱した経験があるので、そういったことを一度まとめておこうというくらいの気持ちで書いてみます。誰もがこういった事に躓くわけではないだろうが、古典力学を統一的に捉えたいと思う人には役に立つかもしれません。

古典力学は破綻したのか?

「古典力学は破綻したのか?」 そう問われると大抵の人は「Yes」と答えるだろう。通常なら、私もその答えに対して鼻息を荒くして反論することはないだろう。なぜなら相対性理論や量子力学によって古典力学が間違った答えを与える例が知られているからである。しかし、今回は鼻息も荒くしつつ記事を書いてみたい。

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アトム 

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趣味   近所散策と物理

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