代数学の基本定理とコーシーの積分公式
私が大学で複素積分を習ったころに、大学の図書館である本に出会いました。洋書だったんですが、本のタイトルや著者は忘れてしまいました。記憶に残っているのは、その本の（たぶん）最初の章だったと思いますが、コーシーの積分定理を使って代数学の基本定理を証明していたんですね。その証明方法は殆ど忘れてしまいましたが、代数学の基本定理のような、少しとっつきにくい証明に解析学の手法を使うというところが印象に残っています。そこで先日、その証明を思い出そうと時間を割いて机に向かっていたら、どうも本に載っていたものとは違うけれども、これで良さそうだという証明が浮かんできたので書きたいと思います。
コーシーの積分定理 １
留数定理とかコーシーの積分定理と呼ばれる積分公式がありますが、これは複素関数論における、最も重要で美しい成果ではないでしょうか。この定理に関する数学的な証明や解説は複素関数論と題した本なら必ず説明があるでしょうし、ブログは細かい議論をするのに適していないと思うので、ここでは、それがどの様に美しいのか？ということを私なりの視点で書いてみたいと思います。 といっても何か新しい事を書くわけではなく（実際良く認識された見方）、知っておくと得した気分になるような雑学です。コーシーの積分定理を単なる計算方法と見るのではなく、違った視点を持つことによって親しみも湧くだろうと思います。
確率 １
確率空間の定義
次の三つの言葉の定義をしておく。
全事象： Ω (考えうる全ての事象）
確率 ： PはΩの部分集合族Fσから[0,1]への写像を与える。
D(P) ： Pの定義域、つまりFσ
注意は確率PはΩの全ての部分集合に定義されるとは限らないことである。これは全事象として無限集合を考える場合に必要なものである。サイコロをふる場合のような有限な全事象Ω={1,2,3,4,5,6}の場合はIの目がでる根幹事象EI全てにPが定義されており、Ωのσ加法族も全部分集合である。
次の三つの言葉の定義をしておく。
全事象： Ω (考えうる全ての事象）
確率 ： PはΩの部分集合族Fσから[0,1]への写像を与える。
D(P) ： Pの定義域、つまりFσ
注意は確率PはΩの全ての部分集合に定義されるとは限らないことである。これは全事象として無限集合を考える場合に必要なものである。サイコロをふる場合のような有限な全事象Ω={1,2,3,4,5,6}の場合はIの目がでる根幹事象EI全てにPが定義されており、Ωのσ加法族も全部分集合である。
eの極限再考 ２
気がついてみるとeの事を「自然対数の底 e」といっていましたが、ちゃんとNapier(ネイピア）数という名前がついているのでそう呼ぶ事にしましょう。余談ですがネイピアは数学者ではなかったそうですが、数学で非常に大事な自然対数の底に彼の名前を冠したのには理由があります。このことについては私も最近まで知りませんでしたが、猫顔さんが記事、ジョン･ネイピア対数誕生物語をきいてを書いてありましたので紹介しておきます。非常に面白かったです。感動悲話です・・・ほろりきます。是非読んでみてください。
eの極限再考
以前自然対数の底eの計算でかなり大雑把な議論で色んな公式を導出しました。そこでは厳密性などに拘らずに数学という世界を、快適なスピードで流れる景色の変化に目を楽しませつつ、山から谷へとドライブしてみました。こういった快適なドライブも素敵ですが、車をとめて足元の草花をじっと眺めて見るとまた違った景色が見えてきます。自分の足でじっくり歩いてみると新たな発見があるものです。もちろん徒歩ではあまり遠くへは行けませんが、何時も車ばかり使っていると足腰が弱くなるということもあります。
そこで今回はeの定義について以前大雑把な議論ですましていた事をもう少しじっくりと振り返ってみたいと思います。こういった事にあまり興味のない人は無理をして付き合う必要はないかと思いますが、たまにはじっくりと議論を重ねてゆく楽しみを味わうのも良いのではないでしょうか。
そこで今回はeの定義について以前大雑把な議論ですましていた事をもう少しじっくりと振り返ってみたいと思います。こういった事にあまり興味のない人は無理をして付き合う必要はないかと思いますが、たまにはじっくりと議論を重ねてゆく楽しみを味わうのも良いのではないでしょうか。
高校生でもできるテイラー展開 その２
それではテイラー展開のやり方についてボチボチ説明をして行こうと思う。以下では微分積分の基礎的な事は知っているものと仮定する。難しい一般論をやる前にちょっと練習をしておこう。
問題：以下の恒等式で？になっている所に入る数字を求めよ。
(1+x)3 = 
+ 3 x+ 3 x2 + x3
(1+x)4 = 1+ x+ 6 x2 + 4 x3+x4
(1+x)6 = 1+ 6 x+ 15 x2 + x3+15 x4 + 6 x5 + x6
これは簡単すぎだろうか、公式を覚えてない人も(1+x)を何回か丁寧にかけてやれば答えが分るはずだ。
問題：以下の恒等式で？になっている所に入る数字を求めよ。
(1+x)3 = + 3 x+ 3 x2 + x3 (1+x)4 = 1+ x+ 6 x2 + 4 x3+x4 (1+x)6 = 1+ 6 x+ 15 x2 + x3+15 x4 + 6 x5 + x6これは簡単すぎだろうか、公式を覚えてない人も(1+x)を何回か丁寧にかけてやれば答えが分るはずだ。
