高校生でもできるテイラー展開 その１
テイラー展開の需要が高いようなので「高校生でもできるテイラー展開入門」なんて企画もいいのかもしれないなあと漠然と書き出した。
テイラー展開とはあらゆる関数をn次関数xnの和で表してしまおう ということだ。
難しい話はするつもりは無い、とにかく高校生でもテイラー展開ができるように入門を書くことが目的である。この記事を読み終えた高校生はどんな関数でもxnの冪関数の和で表す方法をマスターしているはずだ。そんな事なら高校でならう難しい関数達、sin(x)もcos(x)もlog(x)も全て習う必要もなかったの？ 授業でxnしか出てこなかったら数学はどんなに簡単だっただろうかと思うかもしれない。色々と疑問があるだろうがとりあえずそのテイラー展開とやらを見てみよう。話はそれからだ。
テイラー展開とはあらゆる関数をn次関数xnの和で表してしまおう ということだ。
難しい話はするつもりは無い、とにかく高校生でもテイラー展開ができるように入門を書くことが目的である。この記事を読み終えた高校生はどんな関数でもxnの冪関数の和で表す方法をマスターしているはずだ。そんな事なら高校でならう難しい関数達、sin(x)もcos(x)もlog(x)も全て習う必要もなかったの？ 授業でxnしか出てこなかったら数学はどんなに簡単だっただろうかと思うかもしれない。色々と疑問があるだろうがとりあえずそのテイラー展開とやらを見てみよう。話はそれからだ。
自然対数の底e入門５（最終回）
最終回はこれまでの計算を振りかって、なんとなくオイラーの公式が納得できない人の疑問点に答えることを目指してまとめとします。基本となる式は
ex = 1+x/1! +x2/2!+x3/3!+x4/4!+x5/5!+x6/6!+x7/7! + …
でした。xｎ/n! をn=0〜∞まで足したものをexと書くわけです。
ex = 1+x/1! +x2/2!+x3/3!+x4/4!+x5/5!+x6/6!+x7/7! + …
でした。xｎ/n! をn=0〜∞まで足したものをexと書くわけです。
自然対数の底e入門４
そろそろe入門は終わりに近づいています。今回と次回でこの記事を締めくくりたいと思います。「自然対数の底e入門」を最後まで読めた暁には数学の力がかなりついていると思います。残り2回の記事を楽しんでください。
前回オイラーの公式を証明しました。簡単な場合、θ=πについて理解を深めていきましょう。その場合、オイラーの公式は eiπ = -1 です。
前回オイラーの公式を証明しました。簡単な場合、θ=πについて理解を深めていきましょう。その場合、オイラーの公式は eiπ = -1 です。
自然対数の底e入門３
数学至上のもっとも美しいものの一つと言われているオイラーの公式を導きたいと思います。オイラーの公式とは
です。そして、θ＝πの特別な値での関係式
には円周率πと虚数i，そして負の数−1，まったく関係のなさそうなこれらの数がこんな簡単な式で結びついているという驚きの公式なのです。
eiθ = cosθ + i sinθ |
です。そして、θ＝πの特別な値での関係式
eiπ = -1 |
には円周率πと虚数i，そして負の数−1，まったく関係のなさそうなこれらの数がこんな簡単な式で結びついているという驚きの公式なのです。
自然対数の底 e入門２
前回は自然対数の底eの定義について説明して便利な公式を導出しました。
さて今回はeを使った関数y=exについて調べたみたいと思います。この関数には面白い性質がいろいろあることが知られています。この関数をよく理解できればそれだけでも相当な数学の力がつくと思います。細かい計算は飛ばしてもよいのですが、やっていることの意味を理解してください。
| e ≡ Limn→∞ (1+1/n)n ＝ Σn=0〜∞ 1/n! ＝2.718… |
さて今回はeを使った関数y=exについて調べたみたいと思います。この関数には面白い性質がいろいろあることが知られています。この関数をよく理解できればそれだけでも相当な数学の力がつくと思います。細かい計算は飛ばしてもよいのですが、やっていることの意味を理解してください。
自然対数の底 e 入門１
物理でもっとも良く使う関数は何か？ たぶんそれは自然対数の底、オイラーに習ってeと書くと、それの関数exでしょう。高校数学ではあまり深いところまで習わなかったでしょうが、この関数を色んなところで顔を出してくるので基本中の基本として理解してなくてはなりません。そこで高校生程度の知識で読める「自然対数の底e入門」を書きたい思います。
