チェレンコフ光
チェレンコフ光はロシア人科学者、チェレンコフによって発見された現象。媒質中を電荷を持った粒子が媒質中の光速Cnより速い速度で移動するときに発する円錐状に広がる光。媒質中の光速を０．５に固定して、チェレンコフ光をアニメーションにしてみた。以下、媒質中を移動する電子の速さをveとする。
ve=０．４（チェレンコフ光なし）
ve=０．４（チェレンコフ光なし）
クーロンの法則と次元
しばらく電子の自己エネルギーの問題を調べていて、そういえば１次元ではクーロンの法則は φ(r) = e r で、二元ではφ(r)= e log(r) で三次元ではφ(r)=e/r だから次元が下がれば発散なくなるじゃないかと単純に思いましたが、ちょっと考え直して真面目にやると変なことになりました。先ず出発点は
∇.E = e δ(r)
∇.E = e δ(r)
電子の自己エネルギー その３
電子の自己エネルギーが発散してしまうという事に関してちょっとしたお遊びをしてみたい。これから示したい事は量子力学を考えると電子の自己エネルギーは有限になるという事である。先ず電磁場内の電子が持つエネルギーで説明した事を思い出すと電子の自己エネルギーは
E = ∫dx dy ρ(x)ρ(y)/|x-y|
と定義されていたものだ。ρ(x)は電子の密度で、古典論では電子はある位置reに確実にいるわけだから
ρ(x) = e δ(x - re)
である。これを代入すると
E = ∫dx dy e2 δ(x-re)δ(y-re)/|x-y|
= e2/|re-re|
= ∞
となって発散してしまうのが問題だとされている。
E = ∫dx dy ρ(x)ρ(y)/|x-y|
と定義されていたものだ。ρ(x)は電子の密度で、古典論では電子はある位置reに確実にいるわけだから
ρ(x) = e δ(x - re)
である。これを代入すると
E = ∫dx dy e2 δ(x-re)δ(y-re)/|x-y|
= e2/|re-re|
= ∞
となって発散してしまうのが問題だとされている。
電子の自己エネルギー ２ （繰り込み理論）
電子の自己エネルギーは電子が大きさのある塊だとすれば値が計算でき、アインシュタインの質量とエネルギーの関係式を使えば電子半径が決る。これは発散を回避する一つの方法だが実験との比較からうまくいかないとして廃れていった。次に登場したのは繰り込み理論と呼ばれる方法である。この理論の構築には日本人も大いに貢献して、その業績が認められ朝永振一郎博士はノーベル賞をもらった。日本人として大いに誇らしい出来事である。
この理論はある種の発想の転換であった。発散など実は見かけ上の問題であって計算を最後までやれば消えてしまうのだと考える。謎。具体的には発散しているように見える項を含めて電子の質量として再定義することで発散を数式から消してしまう事ができる。実際は消したというより隠してしまったという方が分りやすい。しかしどちらにせよ見えないのなら存在しないも同然......、これはまるで禅問答だろうか？ 今回はこのことについて少し説明しようと思う。いや煙に巻くだけかもしれない。（前もって言っておくと、この記事は突っ込みどころ満載だ。)
この理論はある種の発想の転換であった。発散など実は見かけ上の問題であって計算を最後までやれば消えてしまうのだと考える。謎。具体的には発散しているように見える項を含めて電子の質量として再定義することで発散を数式から消してしまう事ができる。実際は消したというより隠してしまったという方が分りやすい。しかしどちらにせよ見えないのなら存在しないも同然......、これはまるで禅問答だろうか？ 今回はこのことについて少し説明しようと思う。いや煙に巻くだけかもしれない。（前もって言っておくと、この記事は突っ込みどころ満載だ。)
電子の自己エネルギー １
電子の自己エネルギーなるものを計算する。それは位置reにある電子がrに作るポテンシャル φ(r) = e/|r-re| を電子自身が感じることによって生じるエネルギー
E = limitr→re e ρ(r)/|r-re|
であった。単純にやるとこれは発散する。しかしローレンツ以来多くの科学者が「実は電子は大きさを持った粒子であって点ではない、よって自己エネルギーは有限になるのだ」と考えていた。
E = limitr→re e ρ(r)/|r-re|
であった。単純にやるとこれは発散する。しかしローレンツ以来多くの科学者が「実は電子は大きさを持った粒子であって点ではない、よって自己エネルギーは有限になるのだ」と考えていた。
電場内の電子が持つエネルギー
電場内にある電荷eの電子が持つエネルギーについて考える。もっとも分りやすいのは高校の物理学でならうエネルギーと仕事の関係を使うものだろう。原点Oに置かれた電荷Qが作る電場は大きさが
E = Q/r2
で向きは動径方向である。電場内で電子を動かすためには力
F = e (-E)
を加えなければならない(力の向きは電場と逆。）よって電子をdrだけ動かすためには
dW = dr×F = -e E dr
の仕事をしなければならない。
E = Q/r2
で向きは動径方向である。電場内で電子を動かすためには力
F = e (-E)
を加えなければならない(力の向きは電場と逆。）よって電子をdrだけ動かすためには
dW = dr×F = -e E dr
の仕事をしなければならない。
電磁場のエネルギー
電磁場のエネルギーを求めてみよう。いくつかの方法があるが、ここはラグランジアン形式を出発点としてハミルトニアンを系のエネルギーだと解釈しよう。マックスウェルの方程式を再現するようなラグランジアンは
