アトムの物理ノート

電荷eを持った電子が位置r_eに存在する状況を考える。この場合電荷の分布は

ρ(t, x)=eδ(x-r_e(t)).....................(1)

で与えられる。電子は大きさのないものだと考えているので位置x=r_eにのみ値を持つ電荷分布を考える必要があって、これはデルタ関数によって記述されるというわけである。また電子が速度v_e=dr_e/dtで運動している場合には電流も流れる。電流は電荷×速度であり、その分布はx=r_e(t)を満足する地点にのみ喚起されるので

j(t,x)=ev δ(x-r_e(t))...........(2)

となる。電荷密度と電流密度を組み合わせて４次元電流j^μを作ると

j^μ(t,x)=e(1,　v_e)×δ(x-r_e(t)) = e dr^μ/dt×δ(x-r_e(t))...............(3)

と書ける。r^μ=( t,r_e(t))は電子の軌道r_e(t)と時刻tを組み合わせた４次元軌道である（図を参照）。

全文を表示 »

原点に単位磁荷がある場合の磁場Bは

B_M=g r/r³

となるだろう、Mは磁荷(magnet)の頭文字でこの磁場が単位磁荷が作るものであることを示す。逆に言うと、磁場がr/r³という形になればそれは原点に単独の磁荷が存在することを意味する。この場合の磁場をｘｙ平面上に描いてみると


磁場（または磁束線）は原点を中心にして放射状にでていくのが分るだろう。

全文を表示 »

電子はマイナスの電荷をもった粒子であり、原子核はプラスの電荷をもった粒子である。電気的な性質はプラスとマイナスがあり、それぞれが別々に存在する。さて、磁石にはN極とS極という二つの磁気的性質があるのだが、N極だけとかS極だけの磁石というものは見たことがない。磁石はNとSの二つがいつもペアーで存在するようなのだが、S極だけを切り離したりできないのだろうか？もしできたとしたこれはS極の磁荷をもった塊であり、その塊を顕微鏡などで研究してみればS極の性質をもった粒子、単位磁荷というものが見つかるのではないだろうか。

全文を表示 »

電磁場は電子によって作られるのだから、ゲージ場を理解するためには電子を理解する必要があると考えるのは自然だろう。電子を理解するということは量子力学の出番であろう。なぜならミクロな世界での運動は量子力学に支配されているからである。さて、このミクロな世界の言葉である量子力学とMaxwellの方程式はどのような関係にあるのだろうか。これは量子電磁気学という分野になるのだが、なかなか一筋縄ではいかない理論なのだ。ここで量子電磁気学について説明するつもりはない。今のところ量子電磁気学をスッキリと説明できるほど私の理解が達していない。いつかそういうことも記事にしたいとは思うのだが、この記事ではそこまで触れない。私がやりたいことは、量子電磁気学で知られているいくつかの事実を元にゲージ場について新しい視点を与えることだ。

全文を表示 »

前回までに、静電荷と定常電流が電場と磁場を作る事を説明した。ゲージ場を使った電磁気学についてまとめると言いつつも、通常の電磁気学と大して代わり映えしない内容であった事は認める。しかし今回は少しばかり違う。前回までの記事に不満を感じる好奇心と向上心の強い読者にも楽しんでもらえるのではないだろうか。今回はゲージ場に焦点を当てたい。

全文を表示 »

静電荷分布の次に簡単な状況を考える。電荷分布は０で定常電流が流れている状況、つまりj^μ(t,x)=(0, j(x))を考える。導線の中を電流が流れている状況だ、電子と正の電荷を帯びた原子核で電気的には中性なのだ。

全文を表示 »

我々は、既に電磁気学の基本法則を得た。後は応用して慣れるだけである。
一番簡単な例からはじめよう。先ず静的な電荷分布がある場合を扱う。
このとき、４次元電流は j^μ=(ρ, 0)となる、電流は流れていないので空間成分はゼロである。これを電磁場の運動方程式 ∂_μ Fμν=j^ν　に代入する。

ν=i の式から 　→ ∂_μ F^μi　=0
ν=0　の式から　 →　∂_μ F^μ0　=ρ(x)

の二つの式がでる。

全文を表示 »

ここで説明しているゲージ場を用いた電磁気学、基本となる方程式は一つである。忘れているかもしれないので一応書いておくと

∂_μ F^μν = j ^ν

これ一本で電磁場の運動を記述するのである。もちろんF^μνやj^νの意味をしらないと意味がないのだが、とにかく基本方程式は1つなのだ。

全文を表示 »