WKBJ １
「量子力学というのは、なかなか解けない。」
「そういったわけで、解ける問題というのは貴重なんですよ。」
と教授は返答した。質問内容は覚えていない。へえ、そんなに解けない問題ばっかりあるんじゃ、実際の研究ではどうやって計算するんだ。
「後で、近似の話をします。」
と教授が付け加えたので、私の呟きが聞こえたのかと思った。
「そういったわけで、解ける問題というのは貴重なんですよ。」
と教授は返答した。質問内容は覚えていない。へえ、そんなに解けない問題ばっかりあるんじゃ、実際の研究ではどうやって計算するんだ。
「後で、近似の話をします。」
と教授が付け加えたので、私の呟きが聞こえたのかと思った。
量子力学にける波束 ２
前回の記事で波束の作り方を説明し、私たちが通常粒子だと思っている物は、この波束によって記述できるだろうと書きました。粒子の代表である電子を、波束を使って記述すると、位置や運動量は多少ぼやけてしまいます。しかし、量子論的に広がりを持った状態のほうが自然なのです。問題にすべきは、実験との整合性です。以下では古典的な粒子、つまり我々の身の周りの物体に関して、波束で作った波動関数は殆ど広がらない事を確認します。
（以下、hという記号を用いていますが、これはプランク定数を２πで割ったものです。ブログで細かい記号の出力が難しいのでいつも手抜きをしています）
（以下、hという記号を用いていますが、これはプランク定数を２πで割ったものです。ブログで細かい記号の出力が難しいのでいつも手抜きをしています）
量子力学における波束 １
量子力学で散乱問題などを扱う時には、通常平面波を使って計算を行います。平面波は運動量の固有状態なので、散乱行列の計算が楽です。一方で、これは電子の位置の不確定性が無限大という、特殊な状況を考えていることになります。実際の散乱実験では、電子はある程度位置が確定した状態なので、より現実的な計算をするとなると、波束を使った方がよいでしょう。波束とは、運動量に多少の広がりを許し、粒子の位置が（ほぼ）確定した状態を重ね合わせによって実現したものです。
数学的な詳細も書こうと思いましたが、ネット上でダウンロードできる詳しい解説（非常にきれいにまとまったPDF：KENZOさんによる波束の解説記事）が存在しますから、わざわざ読みづらいブログの記事にするまでもないでしょう。よって計算は省き、ここでは波束の物理的な性質を中心に書きたいと思います。
数学的な詳細も書こうと思いましたが、ネット上でダウンロードできる詳しい解説（非常にきれいにまとまったPDF：KENZOさんによる波束の解説記事）が存在しますから、わざわざ読みづらいブログの記事にするまでもないでしょう。よって計算は省き、ここでは波束の物理的な性質を中心に書きたいと思います。
Eye Learning δポテンシャルによる散乱
一次元の散乱問題をアニメーションにしてみました。x軸の原点にδ(x)で与えられるポテンシャルを置き、x<0の領域から入射した波束がどのように散乱するかを考えます。散乱問題では透過係数と反射係数を計算するわけですが、詳しい計算は「一次元量子力学 デルタ関数ポテンシャル２」を参考にしてください。
それでは結果のアニメーションを楽しんでください。といっても大して面白いことはないんですが…。
それでは結果のアニメーションを楽しんでください。といっても大して面白いことはないんですが…。
Eye learning 箱に入った電子４
一次元の無限井戸型ポテンシャルで記述される、箱に入った電子を考えます。ある瞬間に箱を開けたら電子（の波動関数は）どのように運動するか？について調べてみます。物理的な議論は機会を見てすることにして、今回は数値的に波動関数の時間発展を求め、波動関数の二乗を図に描いてみました。図は箱に入った電子状態がn=1，3，5の場合を時刻を毎に(t = 0，0.1，0.2，0.3）描いたものです。
面白いのはn=１から飛び出した電子状態はのっぺりと広がっていくだけですが、n=3, 5の状態では波動関数の塊が箱の左右に飛び出してゆきます。これは、n=１の状態がほぼ静止した電子状態に対応しているのに対して、n=３や５は電子が励起状態であって、電子が箱の中で左右に振動していたためだと理解できます。箱を開けたとたん振動していた電子は左右に飛び出すわけです。
面白いのはn=１から飛び出した電子状態はのっぺりと広がっていくだけですが、n=3, 5の状態では波動関数の塊が箱の左右に飛び出してゆきます。これは、n=１の状態がほぼ静止した電子状態に対応しているのに対して、n=３や５は電子が励起状態であって、電子が箱の中で左右に振動していたためだと理解できます。箱を開けたとたん振動していた電子は左右に飛び出すわけです。
Eye learning： 箱に入った電子３
一次元の箱に入った、電子の波動関数のアニメーションを複素平面とｘ軸を３次元の座標に見立てて描いてみました。時間の関数として波動関数がどのように動いてゆくのか見るのが目的です。
計算した量は記事絵で見る量子力学 揺らぐ状態を参考にしてください。
計算した量は記事絵で見る量子力学 揺らぐ状態を参考にしてください。
Eye learning： 箱に入った電子１
長さが１の一次元ボックスに入った電子はよく知られたように
φ(x)＝√２ cos(πx) （ -1/2 < x <1/2 ）
という基底状態をもっている。もっともエネルギーの低い状態である。さてある瞬間に箱の大きさを広げて、電子にもっとくつろいでもらうことにしよう。つまりｘ＝±1/2に存在する井戸の壁をｔ＝０で素早く取り除き、x=±１へと移動しよう。電子は広い箱の中でくつろごうと分布は広がってゆくだろう。大きな箱に放たれた電子は、時刻ｔ＝０での定常状態から、突如として時間発展を始める。この時間発展の様子をグラフに描いてみた。
φ(x)＝√２ cos(πx) （ -1/2 < x <1/2 ）
という基底状態をもっている。もっともエネルギーの低い状態である。さてある瞬間に箱の大きさを広げて、電子にもっとくつろいでもらうことにしよう。つまりｘ＝±1/2に存在する井戸の壁をｔ＝０で素早く取り除き、x=±１へと移動しよう。電子は広い箱の中でくつろごうと分布は広がってゆくだろう。大きな箱に放たれた電子は、時刻ｔ＝０での定常状態から、突如として時間発展を始める。この時間発展の様子をグラフに描いてみた。
