Eye learning： 箱に入った電子１
長さが１の一次元ボックスに入った電子はよく知られたように
φ(x)＝√２ cos(πx) （ -1/2 < x <1/2 ）
という基底状態をもっている。もっともエネルギーの低い状態である。さてある瞬間に箱の大きさを広げて、電子にもっとくつろいでもらうことにしよう。つまりｘ＝±1/2に存在する井戸の壁をｔ＝０で素早く取り除き、x=±１へと移動しよう。電子は広い箱の中でくつろごうと分布は広がってゆくだろう。大きな箱に放たれた電子は、時刻ｔ＝０での定常状態から、突如として時間発展を始める。この時間発展の様子をグラフに描いてみた。
φ(x)＝√２ cos(πx) （ -1/2 < x <1/2 ）
という基底状態をもっている。もっともエネルギーの低い状態である。さてある瞬間に箱の大きさを広げて、電子にもっとくつろいでもらうことにしよう。つまりｘ＝±1/2に存在する井戸の壁をｔ＝０で素早く取り除き、x=±１へと移動しよう。電子は広い箱の中でくつろごうと分布は広がってゆくだろう。大きな箱に放たれた電子は、時刻ｔ＝０での定常状態から、突如として時間発展を始める。この時間発展の様子をグラフに描いてみた。
絵で見る量子力学 二次元ボックスの中
二次元ボックスの中には電子が一つ入っています。時折中を覗いてみると電子の位置は…
絵で見る量子力学 一次元ボックス
長さがL=1の一次元の箱に閉じ込めらた電子の波動関数は
ψ=√2 Sin(nπx)
で与えられる。ｎ＝１，２，３，… は電子のエネルギーの低い順から番号をつけるためのもので、量子数と呼ばれる。 電子が位置ｘに存在する確立（密度）は
ρ=|ψ|2
で与えられる。電子の存在確立をにn=1,2,3の場合にそれぞれ視覚化した図を描くと下のようになる。まばらに散った点の数に比例して電子の存在確立は高くなる。見易さのために電子分布をｙ軸方向にも広がりを持たせたが、電子の運動はx軸方向の自由度しかないと理解してください。
ψ=√2 Sin(nπx)
で与えられる。ｎ＝１，２，３，… は電子のエネルギーの低い順から番号をつけるためのもので、量子数と呼ばれる。 電子が位置ｘに存在する確立（密度）は
ρ=|ψ|2
で与えられる。電子の存在確立をにn=1,2,3の場合にそれぞれ視覚化した図を描くと下のようになる。まばらに散った点の数に比例して電子の存在確立は高くなる。見易さのために電子分布をｙ軸方向にも広がりを持たせたが、電子の運動はx軸方向の自由度しかないと理解してください。
場の量子論
場の理論といえば、最近では量子力学＋特殊相対性理論をあわせた場の量子論をさす。古典場の理論というものも存在するがこちらは単なる波の理論でたいして面白くないという理由かどうかは知らないが場の理論の名前で呼ばれることは珍しい。それで、量子場の方の場の理論であるが、何故そんなものを考えるのかという事は私も最初全く分らなかった。砂川先生の第二量子化の部分を読んでもいまいちピンとこなかった。式はおえても、その目指すところが分らなかった。
摂動公式の導出
量子力学の摂動論について書こうと思い２次公式の導出に挑戦して挫折した。昔は苦労だとも思わなかった計算が今ではすごく面倒なものに思える。体力の衰えを実感したがそれならば知識と経験で勝負だ。力ずくで計算したのは時間が有り余っていた学生時代、今は週末くらいしか勉強に時間を割けないのだからもっと賢くやろう。目標は摂動公式をスマートに導出する方法を得ること。できれば任意の次数の公式が直ぐに出せるようなものが欲しい。
そんなことを考えていたら直ぐに２，３時間つぶれた。楽な道はない。まあそれでも最終的に納得のいく方法が見つかった（約４時間考えたかな）。本質は昔読んだ砂川先生の「量子力学（岩波）」にあるが、私なりに工夫した箇所が多々ある。砂川先生の説明よりもクリアーになったんじゃないかと思うのはちょっと言いすぎだろうか。とにかくこれを使えば何次の摂動公式でも出せる。以下にその方法を述べる。
そんなことを考えていたら直ぐに２，３時間つぶれた。楽な道はない。まあそれでも最終的に納得のいく方法が見つかった（約４時間考えたかな）。本質は昔読んだ砂川先生の「量子力学（岩波）」にあるが、私なりに工夫した箇所が多々ある。
調和振動子 その4
前回疲れて中途半端におわった生成消滅演算子の導入ですが、まとめると
N|n>=n|n>となる個数ｎの状態は|0>の状態からa†をn回かけて得られます。
|n> = 1/√n! (a†)n |0>
ここで1/√n!は規格化因子(補足1)です。大事なのは出発点の|0>がN|0>=０となることさえ認めればあとは全て生成消滅演算子の代数から帰結されるものだという事です。またaをかけると個数状態ｎからn-1と一つ下がり、a†をかけるとn+１へと一つ上がることも前回やりました。規格化因子(補足１）までしっかり決めてやると
となります。
| [a, a†] = 1 、 [N, a†] = a† 、 [N, a ] = - a |
N|n>=n|n>となる個数ｎの状態は|0>の状態からa†をn回かけて得られます。
|n> = 1/√n! (a†)n |0>
ここで1/√n!は規格化因子(補足1)です。大事なのは出発点の|0>がN|0>=０となることさえ認めればあとは全て生成消滅演算子の代数から帰結されるものだという事です。またaをかけると個数状態ｎからn-1と一つ下がり、a†をかけるとn+１へと一つ上がることも前回やりました。規格化因子(補足１）までしっかり決めてやると
| a|n> = √n |n-1> , a†|n> = √(n+1) |n+1> |
となります。
調和振動子 その3
今回は演算子法です。予定では調和振動子の問題を演算子法で解くつもりでしたが、あまりにも長い記事になったので二つにわけます。今回は演算子法に関する数学的なまとめです。
調和振動子 その２
調和振動子のシュレディンガー方程式
[ -(h2/2m)d2/dx2 + (m/2)w2 x2 ] Ψ = E Ψ .............(1)
を考える(補足１）。問題を簡単にするために以下のように変数をまとめると便利である。
z = (h/mw)1/2 x
E = h w e .............(2)
この変数を使うとシュレディンガー方程式（エネルギーは左辺へ移行した）は
[ -d2/dz2 + z2 - 2ε] Ψ = 0 ...........(3)
となる(補足２）。さてこの微分方程式を解くわけであるが、答えを知っている読者なら「調和振動子の解はエルミート多項式である。よって....」などという説明も受け入れてくれるだろうがあいにく私は公式集など手元にないために全てを自分で導く事にする。また私は微分方程式を解く一般論なども既に忘れているので高度な数学は使わない。つまりここでは物理的な直感を使ったいたって初等的な方法でいく。
[ -(h2/2m)d2/dx2 + (m/2)w2 x2 ] Ψ = E Ψ .............(1)
を考える(補足１）。問題を簡単にするために以下のように変数をまとめると便利である。
z = (h/mw)1/2 x
E = h w e .............(2)
この変数を使うとシュレディンガー方程式（エネルギーは左辺へ移行した）は
[ -d2/dz2 + z2 - 2ε] Ψ = 0 ...........(3)
となる(補足２）。さてこの微分方程式を解くわけであるが、答えを知っている読者なら「調和振動子の解はエルミート多項式である。よって....」などという説明も受け入れてくれるだろうがあいにく私は公式集など手元にないために全てを自分で導く事にする。また私は微分方程式を解く一般論なども既に忘れているので高度な数学は使わない。つまりここでは物理的な直感を使ったいたって初等的な方法でいく。
