補間法 ４
前回ラグランジェのデルタ関数を導入した。その定義は
ΔA(x - xi) = Πj≠i (x - xj)/(xi-xj)
である。 ｊについて積をとるが、j=i は除く。 いちいちｘiがA の要素だと明示する必要もないだろうから、これをΔ(x-xi)と書く。 この定義から次の事が導かれる。
(1) ラグランジェのΔ関数はxに関する多項式である。
（２）ラグランジェのデルタ関数は次の性質を満たす。
Δ(xi - xi)＝１
Δ(xk - xi)＝０ （ｋ≠i）
ΔA(x - xi) = Πj≠i (x - xj)/(xi-xj)
である。 ｊについて積をとるが、j=i は除く。 いちいちｘiがA の要素だと明示する必要もないだろうから、これをΔ(x-xi)と書く。 この定義から次の事が導かれる。
(1) ラグランジェのΔ関数はxに関する多項式である。
（２）ラグランジェのデルタ関数は次の性質を満たす。
Δ(xi - xi)＝１
Δ(xk - xi)＝０ （ｋ≠i）
何故ハミルトニアンはエルミートか
掲示板などで対話をしているとタイトルのような質問をたまに受ける。
確かに《ハミルトニアンはエルミートである》必要はないかもしれない。 というのもハミルトニアンのエルミート性は、エネルギー固有値が実数になるための十分条件ではあるが、必要条件ではない。 という事は、ハミルトニアンがエルミートでなくそれでいてエネルギー固有値が実数になるような例はあるのだろうか。 ちょっと直ぐには思いつかないがきっとあるに違いない。（簡単に作れそうな気がするんだなあ。でも時間もないしあまり興味もないから手が動かない） という事で今のところ私の答えは、エルミートだと面倒な事しなくてもエネルギー固有値が実数になるから良いじゃないくらいの理解である。
雑談ついでに、そもそもエネルギーが実数でないといけない理由は有るのだろうか？
これに対する答え（の一つ）として有名なのはガモフのアフファー崩壊理論にみるような複素数のエネルギー固有値をもつ系だろうか。 エネルギー固有値が虚数でも特に問題ないのだ。 それどころか、エネルギーが虚数になると粒子の崩壊が扱えるというメリットがある。つまりエネルギーの実数部が通常のエネルギーに対応しており、虚数部は粒子の寿命を与えるのである。
「そんな適当な事をいって量子力学の《原理》を変更するなんて邪道だ！」
という声が聞こえてきそうだが、有益な拡張は柔軟に受け入れていこうという姿勢が大事である。 とはいっても、こういう自由な発想ができるのはやはりガモフが天才だからであろう。 既存の理論のどこが本質で、どこに変更の余地があるのかという事が分かっていたのである。 そもそも自然界には崩壊する物質が多くあるのだか、量子力学はそういった現象も柔軟に扱えるだけの懐の深さを持っていたともいえるのだろうか。
こんな事を考えていたら、運動量が虚数という話は聞いた事がない。 エネルギーが虚数でありえるなら運動量にもその権限は残されているであろう。 すると解釈はどうなる？ エネルギーの虚数部が粒子の寿命に対応したように、運動量の虚数部は粒子の空間的な広がりに対応するのだろうか？
これは波動関数が広がるということではなく、粒子自身がのっぺりと広がった構造を持つ事に対応するような気がする。 いやいや、ちょっとイメージがわかない・・・・・・・ しかし面白そうだ。
確かに《ハミルトニアンはエルミートである》必要はないかもしれない。 というのもハミルトニアンのエルミート性は、エネルギー固有値が実数になるための十分条件ではあるが、必要条件ではない。 という事は、ハミルトニアンがエルミートでなくそれでいてエネルギー固有値が実数になるような例はあるのだろうか。 ちょっと直ぐには思いつかないがきっとあるに違いない。（簡単に作れそうな気がするんだなあ。でも時間もないしあまり興味もないから手が動かない） という事で今のところ私の答えは、エルミートだと面倒な事しなくてもエネルギー固有値が実数になるから良いじゃないくらいの理解である。
雑談ついでに、そもそもエネルギーが実数でないといけない理由は有るのだろうか？
これに対する答え（の一つ）として有名なのはガモフのアフファー崩壊理論にみるような複素数のエネルギー固有値をもつ系だろうか。 エネルギー固有値が虚数でも特に問題ないのだ。 それどころか、エネルギーが虚数になると粒子の崩壊が扱えるというメリットがある。つまりエネルギーの実数部が通常のエネルギーに対応しており、虚数部は粒子の寿命を与えるのである。
「そんな適当な事をいって量子力学の《原理》を変更するなんて邪道だ！」
という声が聞こえてきそうだが、有益な拡張は柔軟に受け入れていこうという姿勢が大事である。 とはいっても、こういう自由な発想ができるのはやはりガモフが天才だからであろう。 既存の理論のどこが本質で、どこに変更の余地があるのかという事が分かっていたのである。 そもそも自然界には崩壊する物質が多くあるのだか、量子力学はそういった現象も柔軟に扱えるだけの懐の深さを持っていたともいえるのだろうか。
こんな事を考えていたら、運動量が虚数という話は聞いた事がない。 エネルギーが虚数でありえるなら運動量にもその権限は残されているであろう。 すると解釈はどうなる？ エネルギーの虚数部が粒子の寿命に対応したように、運動量の虚数部は粒子の空間的な広がりに対応するのだろうか？
これは波動関数が広がるということではなく、粒子自身がのっぺりと広がった構造を持つ事に対応するような気がする。 いやいや、ちょっとイメージがわかない・・・・・・・ しかし面白そうだ。
父
私の父は働きものであった。 今でも健在であるが昔ほどガムシャラではなくなったようだ。
人生のゆとりが出てきたのであろうか。 そろそろ人生のゴールも近いかなと思えるところまできて
のんびりと行ってもいいだろうと思えてきたのだろうか。
あの頃は仕事仕事と忙しくしている父の姿を憎んでさえいた。
そしてどうだろう、あれから３０年の年月を経て自分を見つめ直す。
自然と胸が熱くなってくるのはどうしてだろう・・・・・
「そうか、あの頃の父は独りで戦っていたんだ、家族のために。」
あの頃父が犠牲にしてきたもののお陰で今の私はある。
子供に理解されなくても、ひたすら汗を流していたあの父の努力のお陰で。
「いつかは分かるよ」と笑って汗を流していたあの夏。
確かにそうであった。
今度田舎に帰るときには美味しい酒でも持って帰るか。
人生のゆとりが出てきたのであろうか。 そろそろ人生のゴールも近いかなと思えるところまできて
のんびりと行ってもいいだろうと思えてきたのだろうか。
あの頃は仕事仕事と忙しくしている父の姿を憎んでさえいた。
そしてどうだろう、あれから３０年の年月を経て自分を見つめ直す。
自然と胸が熱くなってくるのはどうしてだろう・・・・・
「そうか、あの頃の父は独りで戦っていたんだ、家族のために。」
あの頃父が犠牲にしてきたもののお陰で今の私はある。
子供に理解されなくても、ひたすら汗を流していたあの父の努力のお陰で。
「いつかは分かるよ」と笑って汗を流していたあの夏。
確かにそうであった。
今度田舎に帰るときには美味しい酒でも持って帰るか。
補間法 ３
前回の記事を引き継ぎ、いよいよラグランジェの補間について説明を始める。その基本となるのがラグランジェのデルタ ΔA(x,xi）で、クロネッカーのデルタを拡張したような関数なのである。 申し訳ないが、この「ラグランジェのデルタ関数」、私が勝手にそう呼んでいるだけであって、一般的な名前ではないのでこのブログ以外では通用しないということを覚えていてほしい。
さてラグランジェのデルタ関数、ΔA(x,xi)だが、これはｘの関数で、二つ目の変数として入っている xiは集合Aの要素である。 例えば A＝{1,2,3}でxiとしては１，２，３の三通りのデルタ関数が作られる。 ここではｘは実数のみを扱いAは実数の有限集合としておく。さてラグランジェのデルタ関数の持つ性質として
ΔA(xi , xi) ＝ 1
ΔA(xi , xj) ＝ ０ （i≠ｊ）
がある。このような関数は幾通りも作れるのだが、ラグランジェは非常にエレガントな表式を生み出した。 コンパクトで後々の補間法で便利に使えるものである。 ところで ｘ が x∈Aの場合は上で定義されているのだが、xが集合Aに属さない場合にはどんな値になっているのか不明である。
さてラグランジェのデルタ関数、ΔA(x,xi)だが、これはｘの関数で、二つ目の変数として入っている xiは集合Aの要素である。 例えば A＝{1,2,3}でxiとしては１，２，３の三通りのデルタ関数が作られる。 ここではｘは実数のみを扱いAは実数の有限集合としておく。さてラグランジェのデルタ関数の持つ性質として
ΔA(xi , xi) ＝ 1
ΔA(xi , xj) ＝ ０ （i≠ｊ）
がある。このような関数は幾通りも作れるのだが、ラグランジェは非常にエレガントな表式を生み出した。 コンパクトで後々の補間法で便利に使えるものである。 ところで ｘ が x∈Aの場合は上で定義されているのだが、xが集合Aに属さない場合にはどんな値になっているのか不明である。
補間法 ２
暫く補間という言葉を忘れてのんびりいこう。
線形代数の復習として次のような問題を考える。
-------------------------------------------------------------------
（問題）任意のｎ次元ベクトルV＝(V1,V2,........,Vn)を eaで分解する。
V=Σa ca ea .......(1)
この分解が可能である十分条件として
Σa ea ea =1 ..........(2)
を示せ。（つまり（２）→（１）を説明せよということ）
-------------------------------------------------------------------
表記をシンプルにするために正確さを犠牲にした。 多少説明を加えると、(2) の右辺1はnxnの単位行列のことであり、右辺と左辺のベクトルの足をすべて陽に書きだすと
Σa ( ea)i ( ea)j = (1)ij
の意味である。i , j はベクトルの成分を表しaは基底ベクトルがｎ個存在するはずなのでそれらを区別するために導入されたインデックス。
線形代数の復習として次のような問題を考える。
-------------------------------------------------------------------
（問題）任意のｎ次元ベクトルV＝(V1,V2,........,Vn)を eaで分解する。
V=Σa ca ea .......(1)
この分解が可能である十分条件として
Σa ea ea =1 ..........(2)
を示せ。（つまり（２）→（１）を説明せよということ）
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表記をシンプルにするために正確さを犠牲にした。 多少説明を加えると、(2) の右辺1はnxnの単位行列のことであり、右辺と左辺のベクトルの足をすべて陽に書きだすと
Σa ( ea)i ( ea)j = (1)ij
の意味である。i , j はベクトルの成分を表しaは基底ベクトルがｎ個存在するはずなのでそれらを区別するために導入されたインデックス。
停電の夜に ジュンパ・ラヒリ
インド系アメリカ人の女性作家ジュンパ・ラヒリの作品「停電の夜に」（同作を含む単行本）の第一話「停電の夜に」を読んだので感想を書いておこうと思う。 ちょうど良い長さのショート・ストーリ。
死産のために関係がうまくいかなくなった夫婦。 そんな折、電力会社から夜の停電が暫く続くとの通知。 二人は一本の蝋燭の下に今まで内緒にしてきた秘密話をうちあけることを思いつく。 そして「それちょっとわかるなあ」という感じの小さな秘密をお互いに知ることで、昔の自分たちを振りかえる夜が続く。 そして二人の関係に少し明かりがさしてきたように思えた頃・・・・・。 クライマックス、一気にズドーンと落とされます。 そうか、そういう風にくるのか・・・・・、うーん。 似たようなパターンの小説はいくつもあったかもしれないが、これに及ぶ落ちは滅多にないだろう。
何年か前に話題になった作家らしいが、私は今回初めて知った。 すごい才能だなと唸ってしまう作品。 短編ばかりなので直ぐに読めるのだが、多少のんびりいきたい。 よって単行本のタイトルともなった一話だけ読んでみました。
今更だけれども、こういう作品て落ちをあまり期待しすぎると楽しめないんですよね、きっと。
構えずに、お茶でも啜りながらのんびりと読むと良いかもしれません。
死産のために関係がうまくいかなくなった夫婦。 そんな折、電力会社から夜の停電が暫く続くとの通知。 二人は一本の蝋燭の下に今まで内緒にしてきた秘密話をうちあけることを思いつく。 そして「それちょっとわかるなあ」という感じの小さな秘密をお互いに知ることで、昔の自分たちを振りかえる夜が続く。 そして二人の関係に少し明かりがさしてきたように思えた頃・・・・・。 クライマックス、一気にズドーンと落とされます。 そうか、そういう風にくるのか・・・・・、うーん。 似たようなパターンの小説はいくつもあったかもしれないが、これに及ぶ落ちは滅多にないだろう。
何年か前に話題になった作家らしいが、私は今回初めて知った。 すごい才能だなと唸ってしまう作品。 短編ばかりなので直ぐに読めるのだが、多少のんびりいきたい。 よって単行本のタイトルともなった一話だけ読んでみました。
今更だけれども、こういう作品て落ちをあまり期待しすぎると楽しめないんですよね、きっと。
構えずに、お茶でも啜りながらのんびりと読むと良いかもしれません。
量子力学における運動量 ４ （これまでの主張を整理）
記事を書く暇がない。 そして記事を書くのをサボっていたおかげで自分でも何を書きたかったのかと問題点がわからなくなってしまった（笑）。
これまで書いてきた「量子力学における運動量」の１，２，３を読み返してみた。
そうかそうか、大体書きたかったことはわかったぞ。
しかし既に伝えたいことは全て書いてあるようだ。とりあえず三つの主張に対して整理しておくと、
これまで書いてきた「量子力学における運動量」の１，２，３を読み返してみた。
そうかそうか、大体書きたかったことはわかったぞ。
しかし既に伝えたいことは全て書いてあるようだ。とりあえず三つの主張に対して整理しておくと、
補間法 1
補間とは、与えられた有限個のサンプリング・ポイントを基にしてもともとの関数を推定する作業である。この作業には与えられた点aとbの間での関数値 f(x) ; x=(a,b) を推定する内挿と、与えられた点から外にはみ出した領域 x < a またはx>b での関数値を求める外挿があるが、日本語での《補間》はおそらく前者に限った用語であろう。
その昔補間と聞いてデーター解析などを専門にしない限りお目に掛かることはないだろうと思っていたが必ずしもそうではない。 そもそも補間法は、データーが存在しない点ｘでの関数値ｆ（ｘ）を推定するために使うものであるが、それ以外にも使い道はいろいろある。例えば大量のデーターをそのまま扱うよりもサンプリング・ポイントを減らし、代わりに補間法を用いた方がずっと解析が速いということがある。 またガウス積分法などの数値積分では効率良く値を求めるために補間法が用いられる。 これらの目的にはわざわざ自分でプログラミングする必要はなく既存の物を使えばすむ事であるが、すべてをブラック・ボックスとして受け入れるのも多少気が引ける。 かといって専門的に勉強するのはこれまた大変なことである。 そういった場合に「詳細に立ち入ることなく平易な解説があれば良いなあ」と思うこともしばしば。 そこで今回は、私が調べたラグランジェの多項式補間の方法をここに解説したい。これはガウス積分での応用まで含めて３，４回の記事になる予定である。
工学的なイメージの強い《補間法》に大数学者ラグランジェの名前がついているのは多少驚きであるが、一昔前にはこういった分野も数学における最先端の研究であったのだろう。 後ほど触れるガウス積分はラグランジェの補間法を使えばエレガントに導出できるのでそのことについても触れる予定である。 ラグランジェとガウスに関してLとG 数学者群像 （ちょっといい話）に興味深い記事がある。 それ以外にも「ちょっといい話」のページ楽しく読める記事がいろいろあるので是非訪問してください。
その昔補間と聞いてデーター解析などを専門にしない限りお目に掛かることはないだろうと思っていたが必ずしもそうではない。 そもそも補間法は、データーが存在しない点ｘでの関数値ｆ（ｘ）を推定するために使うものであるが、それ以外にも使い道はいろいろある。例えば大量のデーターをそのまま扱うよりもサンプリング・ポイントを減らし、代わりに補間法を用いた方がずっと解析が速いということがある。 またガウス積分法などの数値積分では効率良く値を求めるために補間法が用いられる。 これらの目的にはわざわざ自分でプログラミングする必要はなく既存の物を使えばすむ事であるが、すべてをブラック・ボックスとして受け入れるのも多少気が引ける。 かといって専門的に勉強するのはこれまた大変なことである。 そういった場合に「詳細に立ち入ることなく平易な解説があれば良いなあ」と思うこともしばしば。 そこで今回は、私が調べたラグランジェの多項式補間の方法をここに解説したい。これはガウス積分での応用まで含めて３，４回の記事になる予定である。
工学的なイメージの強い《補間法》に大数学者ラグランジェの名前がついているのは多少驚きであるが、一昔前にはこういった分野も数学における最先端の研究であったのだろう。 後ほど触れるガウス積分はラグランジェの補間法を使えばエレガントに導出できるのでそのことについても触れる予定である。 ラグランジェとガウスに関してLとG 数学者群像 （ちょっといい話）に興味深い記事がある。 それ以外にも「ちょっといい話」のページ楽しく読める記事がいろいろあるので是非訪問してください。
